46、数值微分：原理、方法与应用

数值微分：原理、方法与应用

1. 数值微分概述

1.1 核心目标

数值微分旨在解决函数导数的近似计算问题。在实际应用中，许多函数难以进行解析求导，或者只能通过离散数据点来描述，此时数值微分方法就显得尤为重要。其主要目标包括理解等间距数据的高精度数值微分公式的应用、掌握非等间距数据导数的计算方法、了解理查森外推法在数值微分中的应用、认识数值微分对数据误差的敏感性，以及学会使用 MATLAB 中的 diff 和 gradient 函数计算导数，还有如何用 MATLAB 生成等高线图和向量场。

1.2 实际问题引入

以自由落体蹦极运动员为例，其速度与位移的关系可以用数学公式表示。已知速度公式为：
[
\upsilon(t) = \sqrt{\frac{gm}{c_d}} \tanh \left(\sqrt{\frac{gc_d}{m}} t\right)
]
位移公式为：
[
z(t) = \frac{m}{c_d} \ln \left[\cosh \left(\sqrt{\frac{gc_d}{m}} t\right)\right]
]
在实际问题中，可能需要根据运动员的位移来确定速度和加速度。速度是位移对时间的一阶导数，即：
[
\upsilon(t) = \frac{dz(t)}{dt}
]
加速度是速度对时间的一阶导数，或者位移对时间的二阶导数，即：
[
a(t) = \frac{d\upsilon(t)}{dt} = \frac{d^2z(t)}{dt