8、生成函数与贝尔多项式的深入解析

生成函数与贝尔多项式的深入解析

1. 生成函数相关基础推导

在生成函数的研究中，有一系列有趣的推导和结论。首先从一个等式开始，已知：
[e^x(e^y - 1)e^x(e^z - 1)\sum_{k = 0}^{\infty}d_k(x)[e^{y + z} - e^y - e^z + 1]^k]
它必须等于 (f(x, y + z) = e^{x(e^{y + z}-1)})。通过除以倒数第二行的指数因子，我们得到：
[\sum_{k = 0}^{\infty}d_k(x)[e^{y + z} - e^y - e^z + 1]^k = e^{x(e^{y + z}-1)-x(e^y - 1)-x(e^z - 1)} = e^{x(e^{y + z}-e^y - e^z + 1)}]
若选择 (d_k(x) = \frac{x^n}{n!})，则汉克尔行列式变为：
[h_n(x) = \prod_{k = 0}^{n}\frac{x^k}{k! k!^2} = \prod_{k = 0}^{n}x^k k! = x^{0 + 1 + 2 + \cdots + n}\prod_{k = 0}^{n}k! = x^{\frac{n(n + 1)}{2}}\prod_{k = 0}^{n}k!]
当 (x = 1) 时，对于贝尔数有一个漂亮的结果：
[\det\begin{pmatrix}
B_0 & B_1 & \cdots & B_n \
B_1 & B_2 & \cdots & B_{n + 1} \
\vdots & \vdots & \ddots &am