20、随机抖动对测距测量的影响分析

随机抖动对测距测量的影响分析

1. 随机抖动对相位和测距的影响

随机抖动在一定条件下会对相位测量产生影响，进而影响测距结果。当调制频率增加时，随机抖动对相位的影响变得更加明显，从而对测距产生可测量的影响。

例如，在积分周期 (T = 1) ms 时，对于 400 MHz 的信号，均方根随机抖动 (σ_{RJ} = {140 和 540}) ps ；对于 600 MHz 的信号，(σ_{RJ} = {115 和 380}) ps ，分别在 0.1 mrad 和 1 mrad 的相位误差标准下对测距有可测量的影响。而且，当积分周期 (T) 变短时，这些均方根值会进一步降低，对测距的影响更大。

2. 随机抖动导致的测距误差

可以通过飞行时间（ToF）测距的基本关系来计算每个相应典型相位误差的测距误差的标准偏差。以 (T = 1) ms 和 (f = 30) MHz 为例，当随机抖动对的均方根 ((σ_{l}, σ_{s}) = {(200, 201), (400, 401), (600, 601), (800, 801), (1000, 1001)}) ps 时，相位误差的标准偏差分别为 (σ_{φerr} ≈ {37.77, 75.55, 113.98, 151.72, 191.03}) μrad （飞行时间相移 (φ = π/6) ），相应的测距误差的标准偏差分别为 (σ_{derr} ≈ {0.03, 0.06, 0.09, 0.12, 0.15}) mm ，呈现近似线性关系。

下面是不同积分周期和调制频率下，不同随机抖动均方根对应的典型测距误差（标准偏差 (σ_{derr}) ，单位：mm）的表格：
| (f) (MHz) | ((200, 201)) ps | ((400, 401)) ps | ((600, 601)) ps | ((800, 801)) ps | ((1000, 1001)) ps |
| — | — | — | — | — | — |
| 10 ( (T = 1) ms) | 0.05 | 0.10 | 0.16 | 0.21 | 0.26 |
| 30 ( (T = 1) ms) | 0.03 | 0.06 | 0.09 | 0.12 | 0.15 |
| 50 ( (T = 1) ms) | 0.02 | 0.05 | 0.07 | 0.09 | 0.12 |
| 80 ( (T = 1) ms) | 0.02 | 0.04 | 0.06 | 0.08 | 0.10 |
| 100 ( (T = 1) ms) | 0.02 | 0.03 | 0.05 | 0.07 | 0.09 |
| 200 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.02 | 0.04 | 0.07 | 0.13 |
| 300 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.02 | 0.05 | 0.14 | 0.51 |
| 400 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.02 | 0.09 | 0.54 | 5.24 |
| 500 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.03 | 0.24 | 3.78 | 42.11 |
| 600 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.05 | 0.86 | 31.12 | 36.00 |
| 700 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.09 | 4.40 | 30.86 | 30.87 |
| 800 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.19 | 22.24 | 26.95 | 26.98 |
| 900 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 0.47 | 23.92 | 24.08 | 24.10 |
| 1000 ( (T = 1) ms) | 0.01 | 1.34 | 21.62 | 21.59 | 21.61 |
| 10 ( (T = 0.1) ms) | 0.17 | 0.33 | 0.50 | 0.66 | 0.83 |
| 30 ( (T = 0.1) ms) | 0.10 | 0.19 | 0.28 | 0.38 | 0.48 |
| 50 ( (T = 0.1) ms) | 0.07 | 0.15 | 0.22 | 0.30 | 0.37 |
| 80 ( (T = 0.1) ms) | 0.06 | 0.12 | 0.18 | 0.24 | 0.31 |
| 100 ( (T = 0.1) ms) | 0.05 | 0.11 | 0.16 | 0.22 | 0.29 |
| 200 ( (T = 0.1) ms) | 0.04 | 0.08 | 0.13 | 0.22 | 0.40 |
| 300 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 0.07 | 0.16 | 0.45 | 1.61 |
| 400 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 0.08 | 0.29 | 1.70 | 16.34 |
| 500 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 0.10 | 0.75 | 11.90 | 43.33 |
| 600 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 0.16 | 2.73 | 35.57 | 35.92 |
| 700 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 0.29 | 13.16 | 31.04 | 30.77 |
| 800 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 0.61 | 26.52 | 27.14 | 26.91 |
| 900 ( (T = 0.1) ms) | 0.03 | 1.49 | 24.07 | 24.03 | 24.09 |
| 1000 ( (T = 0.1) ms) | 0.04 | 4.28 | 21.62 | 21.73 | 21.65 |
| 10 ( (T = 0.01) ms) | 0.52 | 1.05 | 1.56 | 2.07 | 2.60 |
| 30 ( (T = 0.01) ms) | 0.30 | 0.60 | 0.91 | 1.21 | 1.52 |
| 50 ( (T = 0.01) ms) | 0.23 | 0.47 | 0.70 | 0.94 | 1.18 |
| 80 ( (T = 0.01) ms) | 0.19 | 0.37 | 0.56 | 0.76 | 0.97 |
| 100 ( (T = 0.01) ms) | 0.17 | 0.33 | 0.51 | 0.70 | 0.92 |
| 200 ( (T = 0.01) ms) | 0.12 | 0.25 | 0.42 | 0.70 | 1.29 |
| 300 ( (T = 0.01) ms) | 0.10 | 0.23 | 0.51 | 1.41 | 5.07 |
| 400 ( (T = 0.01) ms) | 0.09 | 0.25 | 0.91 | 5.45 | 41.92 |
| 500 ( (T = 0.01) ms) | 0.08 | 0.32 | 2.37 | 31.87 | 43.42 |
| 600 ( (T = 0.01) ms) | 0.08 | 0.50 | 8.67 | 35.85 | 35.95 |
| 700 ( (T = 0.01) ms) | 0.08 | 0.91 | 27.14 | 30.92 | 31.10 |
| 800 ( (T = 0.01) ms) | 0.09 | 1.91 | 27.07 | 27.11 | 26.98 |
| 900 ( (T = 0.01) ms) | 0.10 | 4.75 | 24.15 | 24.14 | 23.95 |
| 1000 ( (T = 0.01) ms) | 0.11 | 12.39 | 21.62 | 21.64 | 21.66 |
| 10 ( (T = 1) μs) | 1.64 | 3.29 | 4.90 | 6.56 | 8.23 |
| 30 ( (T = 1) μs) | 0.95 | 1.89 | 2.87 | 3.80 | 4.77 |
| 50 ( (T = 1) μs) | 0.74 | 1.46 | 2.22 | 2.96 | 3.75 |
| 80 ( (T = 1) μs) | 0.58 | 1.17 | 1.78 | 2.41 | 3.08 |
| 100 ( (T = 1) μs) | 0.52 | 1.06 | 1.60 | 2.19 | 2.90 |
| 200 ( (T = 1) μs) | 0.37 | 0.78 | 1.32 | 2.24 | 4.07 |
| 300 ( (T = 1) μs) | 0.31 | 0.73 | 1.63 | 4.48 | 16.35 |
| 400 ( (T = 1) μs) | 0.28 | 0.79 | 2.92 | 16.72 | 52.69 |
| 500 ( (T = 1) μs) | 0.26 | 1.03 | 7.54 | 41.80 | 43.24 |
| 600 ( (T = 1) μs) | 0.25 | 1.59 | 24.52 | 36.06 | 36.01 |
| 700 ( (T = 1) μs) | 0.26 | 2.88 | 30.49 | 30.97 | 30.93 |
| 800 ( (T = 1) μs) | 0.28 | 6.11 | 27.17 | 27.04 | 27.00 |
| 900 ( (T = 1) μs) | 0.31 | 13.87 | 24.01 | 24.06 | 24.06 |
| 1000 ( (T = 1) μs) | 0.36 | 20.25 | 21.71 | 21.67 | 21.66 |

从这些表格中可以分析出：
- 对于相同的调制频率，随着注入的随机抖动量 (σ_{RJ}) 增加，测距误差的标准偏差 (σ_{derr}) 也增加。
- 当调制频率增加时，可测量的测距误差 (σ_{derr}) 会在较低的均方根值时开始出现。
- 对于不同的积分周期，随着积分周期变短，可测量的测距误差范围会扩大。

例如，在积分周期 (T = 1) ms 时，对于调制频率 (f = 400) MHz ，当 (σ_{RJ} = 1) ns 时，潜在可测量的测距误差 (σ_{derr} = 5.24) mm 开始出现。而当积分周期缩短到 (T = 0.1) ms 时，在相同的 (f = 400) MHz 下，(σ_{RJ} = 1) ns 时的潜在可测量测距误差增加到 (σ_{derr} = 16.34) mm 。

3. 相位误差的不确定性分析

通过使用 (10.25) 式和相应的相位误差，可以计算出八个调制频率在四个积分周期下典型相位误差的不确定性（标准误差），并以误差条的形式展示。

当存在最大随机抖动量（(σ_{RJ} = 1) ns）时，在 (T = 1) ms 下，对于频率高达 300 MHz 的信号，不确定性在 [0.5 - 30] μrad 范围内；对于 400 MHz 到 1000 MHz 的信号，不确定性在 [0.4 - 3] mrad 范围内。

随着调制频率和随机抖动量的增加，不确定性值（误差条的长度）也会增加。而且，当积分周期减小时，不确定性开始增加的随机抖动起始量会降低。

下面是不同积分周期和调制频率下，随机抖动影响的分析流程：

graph LR
    A[选择积分周期 T] --> B[选择调制频率 f]
    B --> C[确定随机抖动均方根 σRJ]
    C --> D[计算相位误差 σφerr]
    D --> E[计算测距误差 σderr]
    E --> F[分析不确定性 SE(σφerr)]

4. 模拟执行时间

模拟使用 MATLAB R2018b 在高性能计算（HPC）集群超级计算机上执行，每个模拟使用 36 个核心，分配的内存空间在 30 GB 到 90 GB 之间，随着调制频率的增加，内存空间分配也增加。

以下是不同调制频率和积分周期下的近似模拟执行时间（单位：小时）：
| (f) (MHz) | (T = 1) ms | (T = 0.1) ms | (T = 0.01) ms | (T = 0.001) ms |
| — | — | — | — | — |
| 10 | 3.51 | 0.33 | 0.07 | 0.05 |
| 30 | 9.43 | 0.95 | 0.12 | 0.06 |
| 50 | 19.71 | 1.54 | 0.17 | 0.06 |
| 80 | 26.40 | 2.54 | 0.27 | 0.06 |
| 100 | 33.56 | 3.12 | 0.33 | 0.07 |
| 200 | 64.25 | 7.92 | 0.65 | 0.09 |
| 300 | 95.94 | 9.78 | 0.96 | 0.12 |
| 400 | 139.79 | 13.14 | 1.27 | 0.15 |
| 500 | 167.75 | 17.01 | 1.57 | 0.18 |
| 600 | 258.34 | 19.32 | 1.91 | 0.20 |
| 700 | 309.57 | 22.84 | 2.24 | 0.25 |
| 800 | 389.51 | 26.03 | 2.64 | 0.28 |
| 900 | 472.89 | 30.06 | 2.87 | 0.32 |
| 1000 | 565.11 | 33.89 | 3.10 | 0.34 |

从这些数据可以看出：
- 对于相同的调制频率，积分周期越短，执行时间越短。
- 对于相同的积分周期，调制频率越高，执行时间越长。
- 当积分周期从 1 ms 减少到 0.1 ms 时，对于调制频率高达 500 MHz 的信号，执行时间大约减少 10%；而对于 600 MHz 到 1 GHz 的频率，这个百分比进一步从约 7.5% 降低到 6%。

综上所述，随机抖动对测距测量的影响与调制频率、积分周期和随机抖动的均方根值密切相关。在实际应用中，需要根据具体需求和条件，综合考虑这些因素，以减少随机抖动对测距精度的影响。同时，在进行模拟时，要注意模拟执行时间和内存空间的分配，以提高模拟效率。

5. 不同积分周期下的具体结果分析

5.1 积分周期 (T = 1) ms

在这个积分周期下，低调制频率（如 (f = 10 - 100) MHz）时，即使存在较大的随机抖动（如 (σ_{RJ}=1) ns），测距误差也相对较小，不影响测量精度。例如 (f = 30) MHz 时，(σ_{RJ}=1) ns 对应的测距误差 (σ_{derr}≈0.15) mm。但当调制频率增加到 (f = 400) MHz 及以上时，随机抖动的影响开始显著。如 (f = 400) MHz，(σ_{RJ}=1) ns 时，(σ_{derr}=5.24) mm。

可测量的测距误差主要集中在 (σ_{derr}≈[4 - 42]) mm 范围内，对应的随机抖动均方根 (σ_{RJ} = [600 - 1000]) ps，调制频率 (f = [400 - 1000]) MHz。

5.2 积分周期 (T = 0.1) ms

与 (T = 1) ms 相比，在 (f = 400) MHz 时，(σ_{RJ}=1) ns 对应的潜在可测量测距误差增加到 (σ_{derr} = 16.34) mm。对于 (f = 1000) MHz，当 (σ_{RJ}=400) ps 时，就开始出现潜在可测量的测距误差 (σ_{derr} = 4.28) mm。

不过，对于较高的几个调制频率（如最后四个频率），对应的测距误差仍可近似为 (σ_{derr}≈{31, 27, 24, 22}) mm，与 (T = 1) ms 时相同。可测量的测距误差范围为 (σ_{derr}≈[3 - 43]) mm，对应的 (σ_{RJ} = [400 - 1000]) ps，(f = [400 - 1000]) MHz。

5.3 积分周期 (T = 0.01) ms

在这个较短的积分周期下，可测量的测距误差范围进一步扩大。在 (f = 10) MHz 时，从 (σ_{RJ}=800) ps 开始就出现 (σ_{derr}>2) mm 的测距误差。对于 (f = 400) MHz，(σ_{RJ}=1) ns 时，(σ_{derr}=41.92) mm。

可测量的测距误差范围为 (σ_{derr}≈[2 - 43]) mm，对应的 (σ_{RJ} = [400 - 1000]) ps，(f = [300 - 1000]) MHz。

5.4 积分周期 (T = 1) μs

这是最短的积分周期，可测量的测距误差范围最广，甚至低调制频率（如 (f = 10) MHz）在 (σ_{RJ}>200) ps 时就会出现可测量的测距误差。最大测距误差出现在 (f = 40) MHz，(σ_{RJ}=1) ns 时。

可测量的测距误差范围为 (σ_{derr}≈[2 - 53]) mm，对应的 (σ_{RJ} = [400 - 1000]) ps，涵盖所有考虑的调制频率 (f = [10 - 1000]) MHz。

6. 不确定性分析的深入探讨

从不确定性分析的结果来看，当随机抖动大于 500 ps 时，前五个调制频率的标准误差在 [0.2 - 50] μrad 范围内，而后五个调制频率（(f = 600 - 1000) MHz）的标准误差在 [0.4 - 4] mrad 范围内。

随着调制频率的增加，标准误差相对典型相位误差的偏差增大，尤其是高调制频率时。这表明在高调制频率下，当前的五十次重复模拟不足以准确分析不确定性，需要增加重复次数来提高结果的准确性。同时，随着积分周期 (T) 的减小，相位误差的标准误差水平升高。例如 (f = 10) MHz，(σ_{RJ}=50) ps 时，(T = 1) ms 对应的不确定性水平接近 (10^{-8}) rad，而 (T = 0.001) ms 时接近 (10^{-6}) rad。

以下是不同调制频率和积分周期下不确定性变化的总结表格：
| 调制频率范围 | 随机抖动范围 | 积分周期变化 | 标准误差范围 | 不确定性变化趋势 |
| — | — | — | — | — |
| (f = 10 - 500) MHz | (σ_{RJ}>500) ps | (T) 减小 | [0.2 - 50] μrad | 升高 |
| (f = 600 - 1000) MHz | (σ_{RJ}>500) ps | (T) 减小 | [0.4 - 4] mrad | 升高 |

7. 模拟执行时间的优化建议

根据模拟执行时间的分析，为了优化模拟过程，可采取以下建议：

7.1 调制频率与积分周期的选择

如果对测量精度要求不高，可选择较低的调制频率和较短的积分周期，这样既能减少随机抖动的影响，又能降低模拟执行时间。例如，在允许一定误差的情况下，选择 (f = 100) MHz，(T = 0.01) ms。

7.2 内存空间的合理分配

根据调制频率合理分配内存空间，避免内存浪费。对于 (f < 100) MHz 的情况，分配 30 GB 内存；对于 (f > 800) MHz 的情况，分配 90 GB 内存。

7.3 增加模拟重复次数

虽然增加重复次数会增加执行时间，但为了提高高调制频率下不确定性分析的准确性，仍需适当增加重复次数。可以逐步增加重复次数，观察结果的稳定性，找到一个合适的值。

8. 总结与展望

随机抖动对测距测量的影响是一个复杂的问题，受到调制频率、积分周期和随机抖动均方根值的共同影响。在实际应用中，如飞行时间（ToF）相机的测距系统，需要根据具体的测量精度要求和实时性要求，综合考虑这些因素。

未来的研究可以进一步探索降低随机抖动影响的方法，如采用更先进的信号处理算法或硬件设计。同时，可以研究不同环境条件下随机抖动的特性，以提高测距系统在复杂环境中的性能。此外，对于模拟执行时间的优化，也可以探索更高效的算法和计算资源分配策略，以提高模拟效率和结果的准确性。

以下是整个分析过程的流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[确定调制频率 f 和积分周期 T]
    B --> C[设置随机抖动均方根 σRJ]
    C --> D[进行蒙特卡罗模拟计算相位误差 σφerr]
    D --> E[根据相位误差计算测距误差 σderr]
    E --> F[分析测距误差的可测量性]
    F --> G[计算相位误差的不确定性 SE(σφerr)]
    G --> H[分析不确定性的合理性]
    H --> I[判断是否需要增加模拟重复次数]
    I -- 是 --> D
    I -- 否 --> J[记录结果并分析不同 f、T、σRJ 下的规律]
    J --> K[结束]

在实际的测距系统开发和应用中，我们可以根据这个流程图进行系统的设计和优化，以提高测距的精度和可靠性。