3、电磁学中的矩量法与辐射散射问题解析

电磁学中的矩量法与辐射散射问题解析

1. 矩量法基础与矩阵元素评估

在处理计算未知电荷分布问题时，常采用矩量法，其基本思路是将未知量用一组带有未知系数的已知函数展开，再通过在物体上的多个场点施加边界条件将方程转化为线性方程组，最后数值求解未知系数。

1.1 矩阵元素评估

• 自项矩阵元素 ：当源贴片和场贴片相同时（(m = n)），被积函数存在奇点，此时需要解析计算积分。以带电平板为例，自项积分如下：
  • 初始积分：(Z_{mm} = \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} \frac{1}{\sqrt{(x’)^2 + (y’)^2}} dx’ dy’)
  • 内层积分结果：(Z_{mm} = \int_{-a}^{a} \log \left(\frac{\sqrt{a^2 + (y’)^2} + a}{\sqrt{a^2 + (y’)^2} - a}\right) dy’)
  • 外层积分结果：(Z_{mm} = 2a \log \left(y + \sqrt{a^2 + y^2}\right) + y \log \left(\frac{y^2 + 2a(a + \sqrt{a^2 + y^2})}{y^2}\right) \Bigg|_{-a}^{a})
  • 最终简化形式：(Z_{mm} = \frac{2a}{\pi\epsilon} \log(1 + \sqrt{2}))
• 非重叠贴片矩阵元素 ：对于不重叠的贴片（(m \