6、数值电磁学中的矩量法与有限元法

数值电磁学中的矩量法与有限元法

1. 数值电磁学基础

在数值电磁学中，我们可以使用比展开函数更多的测试函数（$m>n$），但不能更少。有一种特殊的测试函数选择，即伽辽金法，它使用展开函数本身作为测试函数，得到如下系统：
[
\sum_{n} \alpha_{n} \langle g_{m}, L^{-1} g_{n} \rangle = \langle g_{m}, f \rangle
]
可以将上述方程写成矩阵形式：
[
[I_{mn}] [\alpha_{n}] = [f_{m}]
]
其中，$[I_{mn}]$ 是内积矩阵，$[\alpha_{n}]$ 是未知系数向量，$[f_{m}]$ 是 $f$ 在测试函数上的投影向量。为了求出系数 $\alpha_{n}$，我们必须使用可用的数值算法对矩阵 $[I_{mn}]$ 求逆，因为：
[
[\alpha_{n}] = [I_{mn}]^{-1} [f_{m}]
]

从上述内容，我们可以得出一些一般性结论：
- 展开函数使用得越多，需要求逆的矩阵就越大。
- 计算内积（填充矩阵）所需的计算量会极大影响求解时间。
- 如果选择测试函数和展开函数，使得除了 $m = n$ 时内积不为零，其他情况下内积都为零，那么矩阵的计算和求逆会快得多，这样的矩阵是对角矩阵，很容易求逆。

2. 矩量法（Method of Moments，MoM）

2.1 矩量法概述

矩量法最初源于机械和土木工程领域。最初的矩量法采用脉冲展开函数和狄拉克测试函数（配点法）。在