39、量子系统与经典概率系统的关联及动力学选择

量子系统与经典概率系统的关联及动力学选择

1. 量子粒子在谐振势中的研究

1.1 基本算符与关系

首先引入两个算符：
[
a =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \
1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
a^{\dagger} =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{pmatrix}
]
它们具有以下性质：
- (a|0\rangle = 0)
- (a|1\rangle = |0\rangle)
- (a^{\dagger}|0\rangle = |1\rangle)
- (a^{\dagger}|1\rangle = 0)

同时定义 (n = a^{\dagger}a)，且 ({a^{\dagger}, a} = 1)。(a) 和 (a^{\dagger}) 的厄米线性组合可以用自旋算符表示：
- (a + a^{\dagger} = S_1 = \tau_1)
- (i(a - a^{\dagger}) = S_2 = \tau_2)

对于给定的初始状态，其期望值的演化可以通过薛定谔方程或冯·诺依曼方程计算。

1.2 经典波函数的刘维尔方程

考虑一个处于谐振势 (V = \frac{c}{2}z_kz_k) 中的经典概率粒子。在相空间中，概率 (w(z, p)) 的时间演化可以用经典波函数 (\varphi_c(z,