4、符号动力学与经典动力系统的代数表述

符号动力学与经典动力系统的代数表述

1. 符号动力学基础

在动力系统的研究中，映射 (T_B) 对于 (T^2) 的博雷尔 (\sigma -) 代数是可测的，并且它保持勒贝格测度 (d\mu(x) = dx_1dx_2)。这就构成了一个由测度 - 理论三元组 ((T^2, T_B, dx)) 描述的动力系统。

当 (n \to +\infty) 时，两点 (x) 和 (x + \delta) 之间足够小的距离在水平方向上以 (2^n) 的速度增加，直到达到量级为 1。根据定义，贝克映射的最大李雅普诺夫指数为 (\log 2 > 0)。而在垂直方向上，小距离以相同的速度指数减小，从而保证了体积守恒。

设 (\omega^+(x_1) = {\omega_i} {i\geq0}) 和 (\omega^-(x_2) = {\omega {-j}} {j\geq1}) 分别是 (x_1) 和 (x_2) 二进制展开的系数构成的半序列：
[x_1 = \sum {j = 0}^{\infty}\frac{\omega_j}{2^{j + 1}}, \quad x_2 = \sum_{j = 1}^{\infty}\frac{\omega_{-j}}{2^j}]
令 (\omega(x) := (\omega^-(x_1), \omega^+(x_2)) = {\omega_j(x)} {j\in\mathbb{Z}} \in \Omega^2)，利用定义 (T^2) 的模 1 折叠条件，可以发现 (T_B) 与 (\Omega^2) 上的左移 (T {\sigma}) 同构，即 (\omega_j