11、时间与演化：概率系统中的动力学探索

时间与演化：概率系统中的动力学探索

1. 局部可观测量的期望值与经典波函数

在概率系统的研究中，局部可观测量的期望值表达与量子力学中的薛定谔图像有相似之处。通过公式：
[
\hat{A} {\tau\rho}(m) = \int Dn(m)A {\sigma}(m)h_{\tau}(m)h_{\sigma}(m)h_{\rho}(m) = A_{\tau}(m)\delta_{\tau\rho}
]
这一公式证明了相关结论，其中系数 (A_{\tau}(m)) 是可观测量在状态 (\tau) 于 (m) 处的值。使用经典波函数来描述局部可观测量期望值的优势在于，仅涉及局部概率信息。一旦计算出经典波函数，就无需整体概率分布的更多信息，经典波函数能给出所有局部可观测量的期望值。

2. 步演化算子

2.1 局部因子的归一化

局部因子 (K(m)) 乘以常数 (c(m)) 不会改变整体概率分布，因为权重分布 (w[n]) 乘以 (c(m)) 会被配分函数 (Z) 乘以相同因子 (c(m)) 所抵消。我们利用这种乘法自由度，以方便的方式对转移矩阵进行归一化，使得转移矩阵的最大特征值的绝对值等于 1。经过归一化后的转移矩阵被称为“步演化算子”，记为 (\hat{S})。对于局部链，有：
[
K(m) = \hat{S} {\tau\rho}(m)h {\tau}(m + 1)h_{\rho}(m)
]
步演化算子遵循转移矩阵的所有恒等式，最大特征值的条件确定了所有局部因子的归一化，通过对边界矩阵 (\hat{B}) 进行适当的乘法归一化，可实