32、量子比特自动机：从经典概率到量子力学的探索

量子比特自动机：从经典概率到量子力学的探索

1. 量子力学与局部子系统

量子力学在具有幺正演化的局部子系统中得以实现。对于给定的量子态，由量子密度矩阵 $\rho(t)$ 或纯量子态的特殊情况波函数 $\psi(t)$ 来表征，仅使用时刻 $t$ 的局部概率信息。我们将用三个经典 Ising 自旋的时间局部概率分布 ${p_{\tau}(t)}$ 来表示 $\rho(t)$。量子子系统通常不会使用 ${p_{\tau}(t)}$ 中包含的所有局部信息，几个特定的 Ising 自旋 $s_{\gamma}(t)$ 的期望值或经典相关性来确定该子系统。子系统的演化规律继承自底层局部链的演化规律，它描述了密度矩阵的线性幺正演化，确保量子子系统中包含的信息不会丢失。

我们的量子子系统具有复结构。在复形式中，密度矩阵是厄米的且归一化的：
$\rho^{\dagger}(t) = \rho(t)$
$\text{tr}\rho(t) = 1$

一个重要的性质是密度矩阵的正定性，即其所有特征值均为正或零。

2. 离散量子比特链

考虑一个由三个经典比特或 Ising 自旋 $s_{k} = \pm1$ 组成的简单自动机。在概率初始条件下，整体概率分布由每个离散位置 $m$ 处的三个 Ising 自旋 $s_{k}(t)$ 或 $s_{k}(m)$（$k = 1,2,3$）的局部链给出。离散量子比特链是一个独特的跳跃链，其中每个正交步演化算符将 $s_{k} = s_{k}(m)$ 映射到 $s_{k}’ = s_{k}(m + 1)$，链中这些算符的顺序是任意的。

我们使用六个基算符及其乘积：
|算符|