33、量子比特自动机中的量子条件、幺正演化与相关特性

量子比特自动机中的量子条件、幺正演化与相关特性

1. 量子条件

1.1 基本条件

为了实现量子子系统，三个期望值 $\rho_k = \langle s_k \rangle_{cl}$ 需满足不等式 $\sum_{k} \rho_{k}^{2} \leq 1$。这个“量子约束”或“量子条件”源于量子密度矩阵 $\rho$ 是正矩阵的要求。对于纯量子态，需满足“纯态条件” $\rho_k \rho_k = 1$；而混合态则满足 $\rho_k \rho_k < 1$。量子子系统并非能由任意时间局部概率 ${p_{\tau}(m)}$ 实现，而只能由满足上述不等式的子流形来实现。

1.2 纯态条件推导

量子子系统的定义为 $\rho = \frac{1}{2} \rho_{\mu} \tau_{\mu}$，其中 $\tau_0 = 1$，$\rho_0 = 1$，$\mu$ 从 0 到 3 求和。条件 $\rho^2 = \rho$ 可推导为：
[
\frac{1}{4}(\rho_{\mu} \tau_{\mu})(\rho_{\nu} \tau_{\nu}) = \frac{1}{8} \rho_{\mu} \rho_{\nu} {\tau_{\mu} \tau_{\nu}} = \frac{1}{2} \rho_{\mu} \tau_{\mu}
]
结合 ${\tau_k, \tau_l} = 2\delta_{kl}$，${\tau_k, \tau_0} = 2\tau_k$，${\tau_0, \tau_0} = 2$，可得：
[
\frac{1}{4}(1 + \rho_k \rho_k) +