65、分层图绘制的参数化复杂度研究

分层图绘制的参数化复杂度研究

1. 引言

在图绘制领域，分层图绘制是一个重要的研究方向。传统的Sugiyama算法的第二阶段在交叉最小化过程中，通常假设顶点已经预先分配到各层。然而，本文提出的算法不依赖于这种预先分配，能够在考虑所有可能的顶点层分配情况下，以线性时间确定一个图是否可以在h层中绘制，且边交叉数最多为k（h和k为固定值）。

2. 预备知识

• 图的基本表示 ：用$V(G)$和$E(G)$分别表示图$G$的顶点集和边集，$n$表示$|V(G)|$。对于$S \subseteq V(G)$，$G[S]$表示由$S$中顶点诱导的$G$的子图。

• 路径分解和路径宽度

  • 路径分解 ：图$G$的路径分解$P$是$V(G)$的子集序列$P_1, \ldots, P_p$，满足以下三个性质：
    1. 对于每个$u \in V(G)$，存在一个$i$使得$u \in P_i$。
    2. 对于每条边$uv \in E(G)$，存在一个$i$使得$u, v \in P_i$。
    3. 对于所有$1 \leq i < j < k \leq p$，$P_i \cap P_k \subseteq P_j$。
  • 路径宽度 ：路径分解的宽度定义为$\max{|P_i| - 1 : 1 \leq i \leq p}$，图$