22、费米子量子场论与相互作用：从自动机到量子场的探索

费米子量子场论与相互作用：从自动机到量子场的探索

1. 相互作用狄拉克自动机的基本性质

在相互作用狄拉克自动机中，步演化算子具有重要性质。步演化算子 $\hat{S}$ 可分解为相互作用部分 $\hat{S} {int}$ 和自由部分 $\hat{S} {free}$，即 $\hat{S} = \hat{S} {int} \hat{S} {free}$。相互作用部分满足 $\hat{S} {int}^2 = 1$，$\hat{S} {int}^T = \hat{S} {int}$；自由部分满足 $\hat{S} {free}^{-1} = \hat{S} {free}^T$，且 $\hat{S}^T \hat{S} = \hat{S} {free}^T \hat{S} {free} = 1$。需要注意的是，相互作用部分和自由部分不对易，即 $[\hat{S} {int}, \hat{S} {free}] \neq 0$，这种不对易性使得演化变得非平凡。例如，$\hat{S}^2 = \hat{S} {int} \hat{S} {free} \hat{S} {int} \hat{S} {free} = \hat{S} {free}^2 + [\hat{S} {int}, \hat{S} {free}] \hat{S} {int} \hat{S} {free}$，若对易子为零，两步后的演化就和自由狄拉克费米子的演化相同。

2. 产生和湮灭算子