4、图绘制与几何问题中的 FPT 算法及可恢复鲁棒时刻表评估

图绘制与几何问题中的 FPT 算法及可恢复鲁棒时刻表评估

1. 图绘制与几何中的 FPT 算法

在图绘制和几何领域，存在许多难题。例如，两层平面化问题是 NP 完全问题。给定一个二分图 $G = (V_1 ∪ V_2, E)$ 和非负整数 $k$，该问题要确定是否存在 $V_1$ 和 $V_2$ 的排序，使得在移除最多 $k$ 条边后，图可以无交叉地绘制在两层上。

对于分层图绘制，有许多固定参数可处理（FPT）算法。这些算法的根源往往可追溯到一次研讨会，该研讨会研究了 FPT 方法在分层图绘制中的应用。FPT 算法设计有两种经典方法：有界搜索树方法和问题核化方法（及其组合），这些方法被用于获得相关结果。后来的实现和实验表明，用于两层平面化的 FPT 方法得到的结果与整数线性规划（ILP）方法的结果相当且互补。

对于 $h$ 层图绘制，利用了 $h$ 层平面图（以及最多移除 $k$ 条边后可变为 $h$ 层平面的图）的路径宽度 $w$ 可以用 $h$（或 $h$ 和 $k$）表示这一事实。然后寻求宽度最多为 $w$ 的路径分解，从而得到一个 FPT 结果，但即使对于较小的参数值，该算法的运行时间也不实际。

在几何问题方面，介绍了两个特别容易理解的例子：
- 圆盘图的独立集问题 ：给定平面上的 $n$ 个圆盘 $D_i$，圆盘 $D_i$ 的半径 $r_i$ 在 $[1, σ]$ 范围内，且每对圆盘 $D_i$ 和 $D_j$ 的圆心距离 $d_{ij}$ 至少为 $λ > 0$，问题是是否存在至少 $k$ 个不相交的圆盘。以 $σ$ 和 $λ$ 为参数，Alber 和 Fiala 使用核化方法获得了一个 FP