7、图中精确和近似距离研究综述

图中精确和近似距离研究综述

在图论领域，图中距离的计算是一个重要的研究方向，包括精确距离和近似距离的计算，同时还涉及到缓存和预取等相关技术。下面将详细介绍这些方面的内容。

1. 图中距离的近似计算

在图中，对于任意的 (u \in S) 和 (v \in V)，满足 (\delta(u, v) \leq\hat{\delta}(u, v) \leq(1+\epsilon)\delta(u, v)+b) 的近似距离 (\hat{\delta}(u, v)) 可以在 (O(mn\epsilon + |S|n^{1+\epsilon})) 时间内计算得出。并且，对应的最短路径仅使用图中 (O(n^{1+\epsilon})) 条边。不过需要注意的是，虽然上述式子中与 (\delta(u, v)) 相乘的项可以任意接近 1，但所得到的估计误差并非纯粹的加法误差。

Dor 等人提出了改进的算法来获取图中所有距离的有限盈余估计。他们表明，盈余为 2 的估计可以在 (\tilde{O}(n^{3/2}m^{1/2})) 时间内计算，也可以在 (\tilde{O}(n^{7/3})) 时间内计算。此外，他们还展示了盈余 - 时间的权衡关系，即所有距离的盈余为 (2(k - 1)) 的估计可以在 (\tilde{O}(kn^{2 - 1/k}m^{1/k})) 时间内计算。特别地，所有距离的盈余为 (O(\log n)) 的估计可以在近乎最优的 (\tilde{O}(n^{2})) 时间内获得。

对于加权无向图，Cohen 和 Zwick 对 Dor 等人的技术进行了调整。他们在 (\tilde{O}(n^{3/2}m^{1/2})) 时间内得到所有距离的拉伸因子为 2 的估计