37、量子系统中的时间相关微扰理论

量子系统中的时间相关微扰理论

1. 二态系统

1.1 受谐波微扰的二态系统

在受谐波微扰的二态系统中，利用概率守恒可得：
[P_{2\rightarrow1} = 1 - |c_2 (t)|^2 = \cos^2 (\omega_Rt) + \left(\frac{\delta}{2\omega_R}\right)^2 \sin^2 (\omega_Rt)]
这些方程表明系统以拉比频率 (\omega_R) 在两个状态之间振荡。当处于共振情况（(\delta = 0)）时，概率在 0 和 1 之间翻转；在非共振情况下，非零失谐会减弱 (P_{1\rightarrow2}) 的振幅，使得上能级永远不会完全被占据，相应地，下能级也永远不会被耗尽。

1.2 (t = 0) 时开启的恒定微扰

恒定微扰在 (t = 0) 时开启可视为时间相关问题。通过将谐波微扰的微分方程中 (\omega = 0)，得到：
[i\hbar\dot{c} 1 (t) = \hat{W} {11}c_1 (t) + \hat{W} {12}e^{-i\omega_0t}c_2 (t)]
[i\hbar\dot{c}_2 (t) = \hat{W} {12}^{\dagger}e^{i\omega_0t}c_1 (t) + \hat{W} {22}c_2 (t)]
假设解的形式为 (c_1 (t) = Ae^{-i\omega t}) 和 (c_2 (t) = Be^{-i(\omega - \omega_0)t})，代入上述方程后得到关于 (A) 和 (B) 的两个联立齐次方程。