31、时间无关近似方法：微扰理论与变分法解析

时间无关近似方法：微扰理论与变分法解析

1. 二阶能量修正公式推导

在某些情况下，求和中仅两项得以保留，二阶能量修正公式如下：
[
E_n^{(2)} = \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m|\hat{H} 1|n\rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} = \left(\frac{eF}{\sqrt{2\alpha}}\right)^2 \left[\frac{n}{(E_n - E {n - 1})} + \frac{n + 1}{(E_n - E_{n + 1})}\right] = \frac{e^2F^2}{2} \left(\frac{\hbar}{m\omega}\right) \left[\frac{n}{\hbar\omega} + \frac{n + 1}{-\hbar\omega}\right] = -\frac{e^2F^2}{2m\omega^2}
]

2. 简并微扰理论

2.1 简并问题的出现

当未微扰能级出现简并时，即一个未微扰本征值 (E_m^{(0)}) 对应两个或更多未微扰态矢 (|\psi_m^{(0)}\rangle) 和 (|\psi_{m’}^{(0)}\rangle)，在相关方程求和时，会出现分母为零的情况。这是因为简并能级对应的本征函数并非唯一。

2.2 处理方法

假设尽管某些未微扰态矢是简并的，但真实哈密顿量 (\hat{H}_0 + \lambda\hat{H}_1) 的本征态矢是非简并的，即“微扰消除简并”，不过很多情况下只是部分消除简并。