59、量子力学中的微扰理论与演化算符

量子力学中的微扰理论与演化算符

1. 时变微扰问题

1.1 简谐振子的跃迁概率

考虑一个简谐振子，在时间 (t = 0) 时处于基态。在弱微扰 (V(t) = (a + a^{\dagger})V_0T\delta(T - t)) 的作用下，计算在时间 (T) 时跃迁到能级 (n) 的概率。经过计算发现，只能跃迁到 (n = 1) 的能级，跃迁概率为 (\left|\frac{V_0T}{\hbar}\right|^2)。

1.2 周期性微扰与费米黄金规则

电荷与单色电磁波的相互作用，在低阶微扰理论中通常能得到很好的描述。一般引入最小耦合规则，忽略 (\vec{A}^2) 项（因其为二次项）。设 (\vec{A}(t) = \vec{A}_0e^{i\omega t} + \vec{A}_0^*e^{-i\omega t})，则周期性微扰可表示为 (\hat{V}(t) = \hat{W}e^{i\omega t} + \hat{W}^{\dagger}e^{-i\omega t})，其中 (\hat{W} = \vec{A}_0 \cdot \vec{p})。

在计算跃迁振幅 (a_{n\rightarrow m}(t)) 时，最初使用积分限为 (-\infty) 到 (\infty) 的积分，得到 (a_{n\rightarrow m} \equiv a_m(t \rightarrow \infty) \stackrel{?}{=} -\frac{iW_{mn}}{\hbar}2\pi [\delta (\omega_{mn} + \omega) + \delta (\omega_{mn} - \omega)])。但此结果存在问