57、微扰理论：时间无关的瑞利 - 薛定谔微扰理论解读

微扰理论：时间无关的瑞利 - 薛定谔微扰理论解读

1. 微扰理论概述

微扰理论在处理量子力学问题时十分重要。当面对复杂问题时，有时需要采用场论方法，这是一种无穷阶的更巧妙的微扰理论形式。不过，当前的微扰理论方法在单粒子和多粒子问题中都很有用，无论是否考虑自旋，也无论粒子是费米子还是玻色子。

我们将能级 $n$ 的微扰波函数 $\psi_n$ 在未微扰基 ${\psi^{(0)}}$ 上展开：
[
\psi_n = \sum_{m} c_{n,m} \psi_m^{(0)}
]

为了便于分析微扰的阶数，我们用 $\lambda \hat{V}$ 表示微扰项 $\hat{V}$，最后令 $\lambda = 1$。从相关方程可得：
[
\sum_{m} c_{n,m} (E_m^0 + \lambda \hat{V}) \psi_m^{(0)} = E \sum_{m} c_{n,m} \psi_m^{(0)}
]

将上式乘以 $\psi_k^{0*}$ 并积分，得到问题的精确代数表述：
[
(E_n - E_k^{(0)}) c_{n,k} = \lambda \sum_{m} V_{k m} c_{n,m}
]
此方程被重写为一个离散的无穷系统，我们将通过逐次近似的方法来求解。

2. 离散非简并谱情况

在离散非简并谱的情况下，不同的 $n$ 对应不同的未微扰本征值 $E_n^{(0)}$。弱微扰对能级的改变很小（与能级间距相比），因此对于每个微扰后的能量，我们可以确定它是从哪个未微扰能量衍生而来的。