30、角动量与时间无关近似方法解析

角动量与时间无关近似方法解析

1 经典开普勒问题

开普勒通过经验推断出行星绕太阳沿椭圆轨道运行，这一数学描述被称为开普勒问题。牛顿在忽略其他行星的情况下，从数学上解决了两体问题，其解与经典氢原子问题类似。

当粒子受中心力作用时，由于角动量 $L$ 守恒，其运动被限制在一个平面内。若粒子处于束缚态，其平面运动则被限制在两个 $r$ 值之间，且运动不一定是周期性的。但如果力是吸引力的平方反比力（即 $1/r$ 势），那么束缚运动是周期性的，粒子会做封闭的椭圆轨道运动。

在经典开普勒问题中，存在一个额外的运动常量——伦兹矢量 $A$。对于一般的中心势 $U(r)$，力为 $f(r)\hat{a}_r$（其中 $\hat{a}_r = r/r$ 是 $r$ 方向的单位矢量），牛顿第二定律可表示为 $\dot{p} = f(r)\hat{a}_r$。通过一系列推导，可得出伦兹矢量的表达式：
$A = (p \times L) - \left(\frac{me^2}{4\pi\epsilon_0}\right)\hat{a}_r = p \times L -\hat{a}_r$（原子单位制）

伦兹矢量 $A$ 位于轨道平面内，沿椭圆长轴指向近地点，且与角动量垂直，即 $A \cdot L = 0$。对于开普勒势，伦兹矢量的时间变化率 $\dot{A} = 0$，它是一个运动常量。小的非开普勒项会使伦兹矢量旋转，从而导致椭圆轨道进动。例如，水星轨道的进动，部分是由于其他行星的影响，但仍有一部分是相对论效应导致的。

1.1 伦兹矢量的推导

• 从牛顿第二定律 $\dot{p} = f(r)\hat{a}_r$ 出