6、物理场与几何曲率知识解析

物理场与几何曲率知识解析

1 场的形成与张量相关知识

1.1 场形成练习

在进行场形成的相关练习时，首先要明确一些关键的等式关系。已知(\frac{df}{dz} = \frac{\partial\Phi}{\partial x} + ı\frac{\partial\Psi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y} - ı\frac{\partial\Phi}{\partial y} = u - ıv)，这里它与(v)存在特定的对应关系。

接着，Joukowski 变换(\zeta = z + \frac{1}{z})有着重要的性质，它能将单位圆盘外部共形映射到除实轴上([-2, 2])线段外的整个平面。同时，还能得到(\frac{df}{dz} = \frac{dF}{d\zeta}(1 - \frac{1}{z^2}))，当(|\zeta| \to +\infty)时，(\frac{dF}{d\zeta} \to 1)，其中(F(\zeta) = \zeta)，(f(z) = z + \frac{1}{z})。

最后，要找到满足(v \to \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix})（当(|z| \to +\infty)）的二维单位圆外的定常流，以此来描绘物理平面中的流线和等势线。

1.2 张量知识

1.2.1 正交矩阵与向量变换

一个非奇异的((n, n))实矩阵(Q = (q_{ij}))（(i, j = 1, \cdots, n)），若满足(Q^{-1} = ^tQ)，即((q_{ij})^{-1} = (q_{ji}