17、精确实数算术的抽象状态机：理论与实现

精确实数算术的抽象状态机：理论与实现

1. 引言

在许多计算领域，尤其是数值数学中的大量算法，都需要使用实数算术。然而，在经典图灵机意义下（即类型 1 可计算性），实数上的函数通常是不可计算的。传统数值数学方法往往先假定实数运算可精确计算来指定算法，然后深入研究用浮点数替代实数时的误差传播。另一种方法是采用戴德金分割、柯西序列、嵌套区间等方式精确表示实数，以实现精确实数算术。

类型 2 有效性理论（TTE）为精确实数算术计算提供了精确的理论基础。TTE 是一种关于无限字符串的可计算性理论，它使用输入字符串的前缀来计算输出字符串，并且随着处理更长的前缀，已计算的输出会保留，最终输出字符串由这些部分拼接而成。借助 TTE，许多数值问题已被证明是可计算的。

本文旨在研究将精确实数算术集成到抽象状态机（ASM）中。这需要在 ASM 的背景结构中精确定义数据类型 Real 以及常见操作。我们将使用快速收敛的柯西序列来表示实数，并基于此定义实数的常见运算。由于实数的相等性在 TTE 中不可精确计算，我们引入了数据类型 MultiBool 来处理相关问题。

2. 类型 2 有效性理论

• 类型 1 与类型 2 可计算性 ：类型 1 可计算性理论考虑的是有限字上的（部分）函数 $f : Σ∗→Σ∗$，通常用图灵机来刻画。但这种可计算性概念无法应用于实数函数，因为实数不能用有限字表示。类型 2 有效性理论通过考虑无限字上的（部分）函数 $f : Σω →Σω$ 扩展了类型 1 可计算性。一个可计算函数由一个类型 2 机器将无限序列转换为无限序列来实现。
• 类型 2 机