【SLAM】基于扩展卡尔曼滤波器实现LiDAR数据同步定位和绘图附matlab代码和报告

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🔥 内容介绍

同步定位与绘图 (Simultaneous Localization and Mapping, SLAM) 是机器人学领域的一个核心问题，旨在让机器人能够在未知环境中同时进行定位（估计自身姿态）和环境建模（构建地图）。近年来，随着激光雷达 (Light Detection and Ranging, LiDAR) 技术的快速发展，基于 LiDAR 数据的 SLAM 算法因其高精度、抗干扰能力强等优点，成为了研究热点。本文将深入探讨基于扩展卡尔曼滤波器 (Extended Kalman Filter, EKF) 实现 LiDAR 数据同步定位和绘图的方法，并着重分析其原理、优缺点以及实际应用中需要考虑的关键问题。

扩展卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，它将卡尔曼滤波器的线性假设扩展到非线性系统，通过线性化来近似非线性函数。在 SLAM 问题中，机器人运动模型和观测模型通常都是非线性的，因此 EKF 成为一种常用的解决方法。基于 EKF 的 LiDAR SLAM 框架通常包含以下几个关键步骤：

1. 系统状态定义与模型建立：

首先，需要明确定义系统的状态向量。在二维 LiDAR SLAM 中，状态向量通常包含机器人的位置 (x, y) 和姿态角 θ，记为 x = [x, y, θ]^T。在三维 SLAM 中，状态向量可能还会包含机器人的俯仰角和横滚角，甚至包含机器人的速度和角速度。

其次，需要建立系统的运动模型和观测模型。运动模型描述了机器人的状态如何随时间变化，通常基于机器人的控制输入，例如机器人的线速度和角速度。该模型可以用以下非线性方程表示：

x_(t+1) = f(x_t, u_t, w_t)

其中，xt 和 x(t+1) 分别表示 t 时刻和 t+1 时刻的机器人状态，u_t 表示 t 时刻的控制输入，w_t 表示过程噪声，通常假设其服从高斯分布，即 w_t ~ N(0, Q)，Q 为过程噪声协方差矩阵。

观测模型描述了机器人如何通过传感器（例如 LiDAR）观察周围环境。 LiDAR 通过发射激光束并测量反射回来的时间，可以获得周围环境中物体的位置信息。观测模型可以用以下非线性方程表示：

z_t = h(x_t, m, v_t)

其中，z_t 表示 t 时刻的 LiDAR 观测数据，m 表示地图，包含环境中特征点的位置信息，v_t 表示观测噪声，通常假设其服从高斯分布，即 v_t ~ N(0, R)，R 为观测噪声协方差矩阵。

2. 扩展卡尔曼滤波流程：

EKF 的核心流程包括预测 (Prediction) 和更新 (Update) 两个步骤。

预测 (Prediction):

在预测步骤中，利用运动模型预测下一个时刻的机器人状态和状态协方差矩阵。首先，利用运动模型估计下一个时刻的机器人状态：

x_^(t+1|t) = f(x^t|t, u_t, 0)

其中，x^t|t 表示 t 时刻的机器人状态的后验估计，x_^(t+1|t) 表示 t+1 时刻的机器人状态的先验估计。由于运动模型是非线性的，需要对其进行线性化，得到 Jacobian 矩阵 F_t：

Ft = ∂f / ∂x |(x^t|t, u_t, 0)

然后，利用线性化的运动模型更新状态协方差矩阵：

P_(t+1|t) = Ft P(t|t) F_t^T + Q

其中，P(t|t) 表示 t 时刻的状态协方差矩阵的后验估计，P(t+1|t) 表示 t+1 时刻的状态协方差矩阵的先验估计。
更新 (Update):

在更新步骤中，利用 LiDAR 观测数据对预测的机器人状态进行修正。首先，利用观测模型预测观测值：

z^(t+1|t) = h(x^(t+1|t), m, 0)

同样地，需要对观测模型进行线性化，得到 Jacobian 矩阵 H_(t+1)：

H(t+1) = ∂h / ∂x |(x_^(t+1|t), m, 0)

计算卡尔曼增益 K_(t+1)：

K(t+1) = P(t+1|t) H(t+1)^T (H(t+1) P(t+1|t) H(t+1)^T + R)^-1

利用卡尔曼增益更新机器人状态估计：

x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1) (z(t+1) - z^_(t+1|t))

更新状态协方差矩阵：

P(t+1|t+1) = (I - K(t+1) H(t+1)) P(t+1|t)

其中，x^(t+1|t+1) 和 P(t+1|t+1) 分别表示 t+1 时刻的机器人状态和状态协方差矩阵的后验估计。