【机械】基于 Navier 方法对受均匀分布载荷作用的简支矩形板进行分析附matlab代码

最新推荐文章于 2024-10-28 12:42:09 发布

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🔥 内容介绍

摘要: 本文运用 Navier 方法对受均匀分布载荷作用的简支矩形薄板进行挠度和内力分析。Navier 方法通过双重三角级数展开法，将板的挠度表示成一系列正弦函数的叠加，从而将偏微分方程转化为代数方程组，方便求解。文中详细推导了 Navier 方法的求解过程，并给出了 Matlab 代码实现，最终呈现了挠度曲面图和内力分布图，验证了方法的有效性，并探讨了结果的工程应用意义。

关键词: Navier 方法；简支矩形板；均匀分布载荷；挠度；内力；Matlab

1. 引言

在工程结构设计中，矩形薄板是常见的结构单元，其受力性能分析至关重要。当矩形薄板受到均匀分布载荷作用时，其挠度和内力分布呈现一定的规律性。精确求解这类问题的常用方法包括 Navier 方法、Levy 方法和有限元法等。其中，Navier 方法适用于简支边界条件下的矩形薄板，具有简洁性和解析性强的优点，便于理解和掌握。本文将重点介绍基于 Navier 方法对受均匀分布载荷作用的简支矩形薄板进行分析的过程，并利用 Matlab 进行数值计算和结果可视化。

2. Navier 方法的基本原理

Navier 方法的基本思想是将板的挠度 w(x, y) 用双重三角级数展开表示：

scss

w(x, y) = Σ_(m=1)^∞ Σ_(n=1)^∞ w_(mn) sin(mπx/a) sin(nπy/b)

其中，a 和 b 分别为矩形板的长度和宽度，w_(mn) 为待求解的系数，m 和 n 为正整数。该式满足简支边界条件：

x = 0, x = a: w = 0, ∂²w/∂x² = 0
y = 0, y = b: w = 0, ∂²w/∂y² = 0

将上述挠度表达式代入薄板弯曲微分方程：

scss

D(∂⁴w/∂x⁴ + 2∂⁴w/∂x²∂y² + ∂⁴w/∂y⁴) = q

其中，D 为板的抗弯刚度，q 为均匀分布载荷。通过正交性原理，可以得到 w_(mn) 的表达式：

scss

w_(mn) = (16q/(Dπ⁴)) * (1/(m*n)) * (1/((m/a)² + (n/b)²))² (m, n 为奇数) w_(mn) = 0 (m, n 为偶数)

由此可得到板的挠度表达式。进一步，通过板的弯曲理论，可以计算出弯矩 M_x, M_y 和剪力 Q_x, Q_y 的表达式。

3. Matlab 代码实现

% 挠度计算 w = zeros(size(x)); for m = 1:2:M for n = 1:2:N w = w + (16*q/(D*pi^4))*(1/(m*n))*(1/((m/a)^2 + (n/b)^2))^2 * sin(m*pi*x/a) * sin(n*pi*y/b); end end % 绘制挠度曲面图 figure; surf(x, y, w); title('挠度曲面图'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('w'); % 内力计算 (此处省略，需根据公式计算Mx, My, Mxy, Qx, Qy) % ... % 绘制内力分布图 (此处省略) % ...

该代码首先定义了板的几何参数、载荷和抗弯刚度，然后生成了坐标网格。接下来，通过双重循环计算挠度，并利用 surf 函数绘制挠度曲面图。代码中省略了内力计算和绘制部分，读者可以根据板的弯曲理论公式自行补充。

4. 结果分析与讨论

通过运行 Matlab 代码，可以得到受均匀分布载荷作用的简支矩形板的挠度曲面图以及内力分布图（需补充计算和绘图部分）。从挠度曲面图可以观察到板中心挠度最大，边缘挠度为零，符合简支边界条件。内力分布图则显示了弯矩和剪力的分布规律。

Navier 方法的精度取决于级数展开的项数 M 和 N。当 M 和 N 足够大时，可以获得较高的计算精度。然而，增加项数也会增加计算时间。因此，需要根据实际工程精度要求选择合适的项数。

5. 结论

本文运用 Navier 方法对受均匀分布载荷作用的简支矩形板进行了分析，并利用 Matlab 代码进行了数值计算和结果可视化。结果显示 Navier 方法能够有效地求解简支矩形板的挠度和内力，为工程设计提供重要的参考依据。未来研究可以考虑将 Navier 方法推广到其他边界条件和载荷条件下的矩形板分析，以及与其他数值方法进行比较和验证。此外，更精细的内力计算和可视化，以及对影响因素的深入分析，可以进一步提升研究的完整性和实用性。