Koopman 算子逼近的新方法：乘法动态模式分解 (MultDMD)matlab复现

 ✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，修心和技术同步精进，代码获取、论文复现及科研仿真合作可私信。

🍎个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知。

更多Matlab完整代码及仿真定制内容点击👇

智能优化算法       神经网络预测       雷达通信       无线传感器        电力系统

信号处理              图像处理               路径规划       元胞自动机        无人机

物理应用             机器学习

🔥 内容介绍

Koopman 算子是无限维算子，能够将非线性动力系统线性化，从而方便研究其谱性质，并预测可观测量的时序演化。近年来，研究人员致力于逼近 Koopman 算子，同时保留其关键结构。然而，逼近 Koopman 算子通常需要一个可观测量的字典，以在有限维子空间内捕捉系统的行为。这些函数的选择往往是启发式的，可能导致谱信息的损失，并严重复杂化结构的保留。本文介绍了乘法动态模式分解 (MultDMD)，它在 Koopman 算子的有限维逼近中强制执行其固有的乘法结构。利用这种乘法性质，我们引导了可观测量的选择，并定义了矩阵逼近的约束优化问题，该问题可以高效地求解。MultDMD 提供了一种结构化的有限维逼近方法，能够更准确地反映 Koopman 算子的谱性质。本文详细阐述了 MultDMD 的理论框架，包括其公式化、优化策略和收敛性质。通过几个例子，包括非线性摆、Lorenz 系统和流体动力学数据，证明了 MultDMD 的有效性，并展示了其对噪声的显著鲁棒性。

1. 引言

理解和预测复杂系统的动态行为是一个具有挑战性的问题，特别是在非线性动力学领域。传统的线性化方法往往无法有效地处理非线性系统的复杂性，而 Koopman 算子理论为研究非线性动力学系统提供了一个新的视角。Koopman 算子是一个无限维算子，能够将非线性动力系统线性化，并将其动力学转化为一个线性空间中的线性演化。

Koopman 算子理论的强大之处在于，它能够揭示非线性系统的谱性质，并预测可观测量的时序演化。然而，由于 Koopman 算子是无限维的，因此在实际应用中需要对其进行逼近。现有的 Koopman 算子逼近方法通常需要一个可观测量的字典，以在有限维子空间内捕捉系统的行为。这些函数的选择往往是启发式的，可能导致谱信息的损失，并严重复杂化结构的保留。

为了克服这些问题，本文提出了一种新的 Koopman 算子逼近方法：乘法动态模式分解 (MultDMD)。MultDMD 充分利用了 Koopman 算子的乘法结构，引导了可观测量的选择，并定义了矩阵逼近的约束优化问题，该问题可以高效地求解。与现有的方法相比，MultDMD 能够更准确地反映 Koopman 算子的谱性质，并具有更强的鲁棒性。

2. Koopman 算子理论概述

3. 乘法动态模式分解 (MultDMD)

MultDMD 利用 Koopman 算子的乘法结构，对 Koopman 算子进行逼近，并引导可观测量的选择。具体来说，MultDMD 将 Koopman 算子逼近为一个有限维矩阵 �K，该矩阵满足以下性质：

��=ℎ

4. 可观测量选择

MultDMD 提供了一种基于 Koopman 算子结构的可观测量选择方法。具体来说，MultDMD 选择能够满足以下条件的可观测量：

• 可观测量能够有效地捕捉系统的动力学行为。

• 可观测量能够构成一个线性无关的集合。

为了实现这一目标，MultDMD 利用了一种贪婪算法，逐步添加新的可观测量，直到满足上述条件为止。

5. 优化策略

MultDMD 将矩阵逼近问题转化为一个约束优化问题，并采用一种高效的优化算法来求解。具体来说，MultDMD 使用交替方向乘子法 (ADMM) 来解决该优化问题，并能够有效地找到 Koopman 算子的最佳逼近。

6. 收敛性质

MultDMD 的收敛性质可以通过理论分析和数值实验来证明。理论分析表明，MultDMD 能够收敛到 Koopman 算子的最佳逼近，数值实验也验证了 MultDMD 的收敛性。

7. 应用实例

本文通过几个例子，包括非线性摆、Lorenz 系统和流体动力学数据，展示了 MultDMD 的有效性。结果表明，MultDMD 能够有效地逼近 Koopman 算子，并准确地预测可观测量的时序演化。此外，MultDMD 具有较强的鲁棒性，能够有效地处理噪声数据。

8. 结论

本文介绍了一种新的 Koopman 算子逼近方法：乘法动态模式分解 (MultDMD)。MultDMD 充分利用了 Koopman 算子的乘法结构，引导了可观测量的选择，并定义了矩阵逼近的约束优化问题。通过理论分析和数值实验，证明了 MultDMD 的有效性和鲁棒性。MultDMD 为研究复杂系统的非线性动力学提供了新的工具，并能够广泛应用于各个领域，例如控制、预测和数据分析。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

https://arxiv.org/abs/2405.05334

🎈 部分理论引用网络文献，若有侵权联系博主删除

🎁  关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料

👇  私信完整代码和数据获取及论文数模仿真定制

1 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱船配载优化、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题

2 机器学习和深度学习方面

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN/TCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

2.图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

3 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

4 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

5 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信

6 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

7 电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电

、MPPT优化

8 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

9  雷达方面

卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化

、NLOS识别