滑模控制理论(SMC)

滑模控制理论(Sliding Mode Control,SMC)

滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，其核心为李雅普诺夫函数，滑膜控制的核心是建立一个滑模面，将被控系统拉倒滑模面上来，使系统沿着滑模面运动，滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数，采取一种比较暴力的方式来达到控制目的，但是这种暴力也带来了一些问题，就是正负信号的高频切换，一般的硬件是无法进行信号的高频切换的，所以需要一些其他的方式避免这个问题，还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡，导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡，这种震荡是无法消除的，这也是滑膜控制的一个问题。

优点

滑动模态可以设计

对扰动不敏感

缺点

硬件无法适应高频的信号切换

信号高频切换带来的输出信号震荡

系统建模

我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =u\end{array}$$
我们的控制目标很明确，就是希望$x_1=0,x_2=0$

设计滑模面

$$s=c{x}_1+x_2$$

这里有个问题就是，滑模面是个什么东西，为什么要设计成这个样子，为什么不是别的样子，其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么，是$x_1=0,x_2=0$，那如果$s=0$呢
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}c{x}_1+x_2=0\\ {\dot{x}}_1=x_2\end{array}\Rightarrow c{x}_1+{\dot{x}}_1=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=x_1(0)e^{-ct}\\ x_2=-c{x}_1(0)e^{-ct}\end{array}\end{array}$$
可以看出状态量最终都会趋于0，而且是指数级的趋于0。$c$ 越大，速度也就越快。所以如果满足$s=c{x}_1+c_2=0$,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零，（$s=0$称之为滑模面)

设计趋近律

上面说，如果 $s=0$ 状态变量最终会趋于0，可以如何保证 $s=0$ 呢，这就是控制率 $u$ 需要保证的内容了
$$\dot{s}=c{\dot{x}}_1+{\dot{x}}_2=c{x}_2+u$$
趋近律就是指 $\dot{s}$ ，趋近律的一般有以下几种设计
$$\{\begin{array}{l}\dot{s}=-\epsilon sgn(s),\epsilon >0\\ \dot{s}=-\epsilon sgn(s)-ks,\epsilon >0,k>0\\ \dot{s}=-k|s{|}^{\alpha }sgn(s),0<\alpha <1\end{array}$$

$$sgn(s)=\{\begin{array}{l}1,s>0\\ -1,s<0\end{array}$$

根据以上的趋近律，我们就可以获得控制量 $u$ 了(选取第一种控制率)。
$$u=-c{x}_2-\epsilon sgn(s)$$
我们对系统施加控制量 $u$ 即可保证系统最终稳定在原点。

证明有效性

在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程 $\dot{s}=c{x}_2+u$ ，我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了，控制目标是 $s$ ,对于 $s$ 如果存在一个连续函数 $V$ 满足下面两个式子，那么系统将在平衡点 $s=0$ 处稳定，即$\underset{t\to \infty }{\lim }V=0$
$$\underset{|s|\to \infty }{\lim }V=\infty$$

$$\dot{V}<0fors\ne 0$$

我们证明的方法就是令 $V=\frac{1}{2}{s}^2$ ，很明显我们满足第一个条件，我们对 $V$ 进行求导，
$$\dot{V}=s\dot{s}=-s\epsilon sgn(s)=-\epsilon |s|<0$$
也是满足第二个条件的，所以最终系统会稳定在滑膜面附近，这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置，即零点。

无限时间问题

上面的分析看似无懈可击，实际上是没什么用的，因为我们最终得到的结论是，在时间趋于无穷时，系统的状态必将趋于0，这有用吗，并没有，因为无限时间这太恐怖了，人死了系统都没稳定的话这没什么意义，所以我们必须要求他是有限时间可达的，所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件
$$\dot{V}\le -\alpha V^{\frac{1}{2}}$$
对于改进后的这个条件可以分离变量再积分
$$\begin{array}{rl}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& \le -\alpha V^{\frac{1}{2}}\\ V^{-\frac{1}{2}}\text{d}V& \le -\alpha \text{d}t\\ {\int }_0^t{V}^{-\frac{1}{2}}\text{d}V& \le {\int }_0^t-\alpha \text{d}t\\ V^{\frac{1}{2}}(t)-V^{\frac{1}{2}}(0)& \le -\frac{1}{2}\alpha t\\ V^{\frac{1}{2}}(t)& \le -\frac{1}{2}\alpha t+V^{\frac{1}{2}}(0)\end{array}$$
根据上面的等式可以看出，$V$ 将在有限时间达到稳定，稳定的最终时间为
$$t_r\le \frac{2V^{\frac{1}{2}}(0)}{\alpha }$$
因为李雅普诺夫条件的改变，控制器 $u$ 也需要作出相应改变
$$\{\begin{array}{l}\dot{V}=s\dot{s}=-s\epsilon sgn(s)=-\epsilon |s|\\ V=\frac{1}{2}{s}^2\\ \dot{V}\le -\alpha V^{\frac{1}{2}}\end{array}\Rightarrow \dot{V}=-\epsilon |s|\le -\alpha \frac{s}{\sqrt{2}}\Rightarrow \epsilon \ge \frac{\alpha }{\sqrt{2}}$$
也就是给之前随意指定的 $\epsilon$ 增加了一个控制条件

干扰问题

上面的讨论其实还基于一个假设，没有干扰，没有干扰的控制是非常好做的，也是没什么实际意义的，这里我们将干扰项加入状态方程，之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的，这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。

加入干扰后的状态方程
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =u+d\end{array}$$
这对我们设计滑膜面没有什么影响，我们的滑膜面如下
$$s=c{x}_1+x_2$$
我们的趋近律设计也不变
$$\dot{s}=-\epsilon sgn(s)$$
我们的控制量 $u$ 也不变
$$u=-\epsilon sgn(s)-c{x}_2$$

$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =c{\dot{x}}_1+{\dot{x}}_2\\ & =c{x}_2+u+d\end{array}$$

分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数
$$\begin{array}{rl}V& =\frac{1}{2}{s}^2\\ \dot{V}& =s\dot{s}\\ & =s(c{x}_2+u+d)\\ & =s(-\epsilon sgn(s)+d)\\ & \le -\epsilon |s|+sd\\ & \le -\epsilon |s|+sL\\ & \le |s|(\epsilon -L)\end{array}$$
其中 $L$ 为干扰 $d$ 的上界
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& \le -\alpha V^{\frac{1}{2}}\\ -\epsilon |s|+sL& \le -\alpha \frac{s}{\sqrt{2}}\\ -\epsilon |s|& \le -\alpha \frac{s}{\sqrt{2}}-sL\\ \epsilon |s|& \ge \alpha \frac{s}{\sqrt{2}}+sL\\ \epsilon & \ge sgn(s)(\frac{\alpha }{\sqrt{2}}+L)\\ \epsilon & \ge (\frac{\alpha }{\sqrt{2}}+L)\end{array}$$
所以我们直接证明了，当我们的干扰有上界的情况下，我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。

三阶系统滑膜设计方法示例

三阶系统的模型如下
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =x_3\\ {\dot{x}}_3& =f(x)+g(x)u\end{array}$$
假设，我们期望的 $x_1$ 的目标是 $x_{1d}$ ，注意，这里和前文不同，这里的控制目标不在是0了
$$\begin{array}{rl}{e}_1& =x_1-x_{1d}\\ e_2& ={\dot{e}}_1={\dot{x}}_1-{\dot{x}}_{1d}=x_2-{\dot{x}}_{1d}\\ e_3& ={\dot{e}}_2={\ddot{x}}_1-{\ddot{x}}_{1d}=x_3-{\ddot{x}}_{1d}\end{array}$$
设计滑模面
$$s=c_1{e}_1+c_2{e}_2+e_3$$
设计李雅普诺夫函数
$$V=\frac{1}{2}{s}^2$$
对李雅普诺夫函数进行求导
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\dot{s}\\ & =s(c_1{\dot{e}}_1+c_2{\dot{e}}_2+{\dot{e}}_3)\\ & =s(c_1{e}_2+c_2{e}_3+x_3-{\ddot{x}}_{1d}^{(3)})\\ & =s(c_1{e}_2+c_2{e}_3+x_3-f(x)+g(x)u-x_{1d}^{(3)})\\ & =s(\Gamma -f(x)+g(x)u-x_{1d}^{(3)})\\ & =sg(x)(\frac{\Gamma -f(x)-x_{1d}^{(3)}}{g(x)}+u)\end{array}$$
这里我们设计趋近律
$$\dot{s}=-\epsilon sgn(s)=\Gamma -f(x)+g(x)u-x_{1d}^{(3)}$$
得到控制量 $u$
$$u=\frac{-\epsilon sgn(s)-\Gamma +f(x)+x_{1d}^{(3)}}{g(x)}$$
带入李雅普诺夫函数可得
$$\dot{V}=-s\epsilon sgn(s)=-\epsilon |s|\le 0$$
这里可以看到系统必将稳定，如果需要控制到达稳定的时间就限制 $\epsilon$ 即可