【半空间Sommerfeld积分电场集成器】使用二重格林函数来计算由电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生的精确场研究附Matlab代码

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🔥 内容介绍

本文深入探讨了使用二重格林函数来计算由电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生精确场的半空间 Sommerfeld 积分电场集成器。通过构建严谨的数学模型，详细阐述了该积分器的工作原理及计算流程。同时，借助主函数对 z 切面电场进行计算，并利用 NearField.m 生成 x-z 切面的二维彩色地图，实现了电场分布的可视化。研究结果表明，该方法能够高精度地模拟复杂电磁环境下的电场分布，为电磁学领域的相关研究提供了有力的工具和新的思路。

一、引言

在电磁学研究中，准确计算电偶极子和磁偶极子在不同介质中产生的电场具有至关重要的意义。随着科学技术的不断发展，诸如无线通信、雷达探测、电磁兼容性分析等众多领域，都对复杂电磁环境下的场分布计算精度提出了更高的要求。半空间 Sommerfeld 积分电场集成器，作为一种新兴的计算方法，通过引入二重格林函数，为解决这一难题提供了有效的途径。它能够充分考虑介质界面的影响，细致入微地捕捉场的变化规律，从而实现对电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生的精确场的计算，为深入理解电磁现象奠定了坚实的基础。

二、理论基础

2.1 电偶极子与磁偶极子理论

电偶极子由一对等量异号的点电荷组成，当它们之间的距离远小于场点到它们的距离时，该电荷系统被定义为电偶极子，其特征用电偶极矩 p=ql 描述，其中 l 是两点电荷之间的距离，方向由 - q 指向 + q。在空间中，电偶极子产生的电场分布较为复杂，在矢径延长线上，根据点电荷场强公式及场强叠加原理，合场强大小为（忽略二级小量），方向与电偶极矩方向相同；在中垂面上，合场强大小同样经场强叠加原理推导得出（忽略二级小量），方向与电偶极矩方向相反。

磁偶极子可看作是场点到载流小线圈的距离远大于其尺寸时的载流小线圈，或由相距、磁极强度为的一对点磁荷，在远小于场点到它们的距离时构成的系统。磁偶极子的磁场可通过其磁偶极矩 m 来表征，磁场表达式为，其中为真空磁导率，r 为位置矢量，|r | 为到计算场点的距离，该式表明磁场不仅与位置有关，还与磁偶极矩和位置矢量的夹角相关，且磁场随距离呈快速衰减特性。

2.2 二重格林函数理论

格林函数在电磁学中用于描述点源在特定边界条件下产生的场。二重格林函数则进一步考虑了介质界面的多次反射和透射效应。对于半空间问题，其能够精确刻画电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生的场与介质界面的相互作用。在数学形式上，二重格林函数将空间中的场表示为源项与格林函数的积分形式，通过对积分的计算，可以得到任意位置处的场强。这种表示方法充分考虑了介质的特性以及边界条件，使得对复杂电磁环境的描述更加准确和全面。

2.3 Sommerfeld 积分理论

Sommerfeld 积分是处理半空间电磁问题的重要工具。在半空间环境下，由于介质分界面的存在，传统的积分方法难以准确描述场的分布。Sommerfeld 积分通过对谱域的积分，能够有效地处理包含介质分界面的复杂情况。其被积函数通常具有高振荡性和慢衰减性的特点，这给数值计算带来了一定的挑战。然而，通过合理的数学变换和数值算法，可以实现对 Sommerfeld 积分的高效计算，从而得到半空间中电场的精确解。在本研究中，半空间 Sommerfeld 积分电场集成器正是基于这些理论，将二重格林函数与 Sommerfeld 积分相结合，实现对电偶极子和磁偶极子产生电场的精确计算。

三、半空间 Sommerfeld 积分电场集成器的构建

3.3 关键算法实现

在半空间 Sommerfeld 积分电场集成器的实现过程中，有几个关键算法起着至关重要的作用。其中，离散复镜像法（DCIM）是一种常用的将谱域积分转化为有限项复镜像格林函数求和运算的方法。通过将谱函数表示成若干项关于纵向波数的复指数级数的求和形式，利用 Sommerfeld 恒等式，可将 Sommerfeld 积分表示成有限项复镜像格林函数的求和形式，从而避免了繁琐的谱域积分运算。

对于跨界面目标的散射问题，当谱函数与场点和源点的纵向位置有关时，提出了双重广义函数束拟合（GPOF）方法。该方法先将谱函数对场点 z 分离，对有限个源区离散点的谱函数用 GPOF 方法拟合其复镜像参量，然后再次使用 GPOF 方法拟合这些复镜像参量随源点纵向位置的函数关系。这样，任意位置的复镜像参量可由函数计算直接得到，无需逐点拟合求解，大大提高了计算效率和准确性。

此外，在数值积分过程中，为了准确处理 Sommerfeld 积分的高振荡特性，还采用了自适应积分算法，根据被积函数的变化情况自动调整积分步长，以确保积分的精度和稳定性。

四、结果分析

4.1 结果对比与分析

将半空间 Sommerfeld 积分电场集成器计算得到的电场强度结果与理论值以及传统计算方法的结果进行对比分析。以电偶极子在某一位置产生的电场为例，在 z 切面和 x-z 切面分别进行结果对比。

在 z 切面的电场对比中，从计算结果可以看出，半空间 Sommerfeld 积分电场集成器得到的电场强度分布与理论值高度吻合。与传统的数值计算方法相比，在靠近介质界面和电偶极子附近的区域，传统方法存在一定的误差，而半空间 Sommerfeld 积分电场集成器能够更准确地反映电场的变化趋势。

通过 NearField.m 生成的 x-z 切面二维彩色地图，可以直观地观察到电场强度的分布情况。对比不同方法生成的地图，半空间 Sommerfeld 积分电场集成器生成的地图中，电场强度的等值线更加清晰、准确地反映了电场的实际分布，在电场变化剧烈的区域也能很好地捕捉到细节，进一步验证了该方法在处理复杂电磁环境下电场计算的优越性。

对不同位置场点的电场强度进行定量对比，计算相对误差。结果显示，半空间 Sommerfeld 积分电场集成器的相对误差明显小于传统方法，在大多数场点处相对误差控制在极小的范围内，充分证明了该方法的高精度特性。

4.2 影响因素分析

进一步分析影响半空间 Sommerfeld 积分电场集成器计算结果的因素。首先，介质参数的准确性对结果有显著影响。当介质的介电常数或磁导率存在误差时，会导致格林函数的计算偏差，进而影响电场强度的计算结果。因此，在实际应用中，需要尽可能准确地测量和确定介质参数。

源的位置和特性也是重要的影响因素。电偶极子或磁偶极子的位置稍有偏差，会使电场的分布发生变化，从而影响计算结果的准确性。同时，源的强度（电偶极矩或磁偶极矩）的变化也会对电场强度产生直接影响。

此外，数值计算过程中的参数设置，如积分步长、离散点数量等，也会对计算结果产生影响。合理选择这些参数，能够在保证计算精度的前提下，提高计算效率。通过对这些影响因素的分析，可以为进一步优化半空间 Sommerfeld 积分电场集成器的性能提供依据。

五、结论与展望

5.1 研究结论

本文通过对使用二重格林函数来计算由电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生精确场的半空间 Sommerfeld 积分电场集成器的深入研究，得出以下结论：

1. 成功构建了半空间 Sommerfeld 积分电场集成器的数学模型和计算流程，通过严谨的理论推导和算法实现，能够准确地计算电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生的电场强度。

1. 实验验证表明，该方法在电场计算的精度上明显优于传统方法，无论是在 z 切面的电场计算，还是通过 x-z 切面二维彩色地图展示的电场分布，都与理论值高度吻合，能够有效处理复杂电磁环境下的电场计算问题。

1. 分析了影响计算结果的多种因素，包括介质参数、源的位置和特性以及数值计算参数等，为该方法的实际应用和进一步优化提供了重要参考。

5.2 未来展望

尽管半空间 Sommerfeld 积分电场集成器在本研究中取得了良好的成果，但仍有许多方面值得进一步探索和改进。未来的研究可以从以下几个方向展开：

1. 算法优化：继续研究和改进数值计算算法，提高计算效率，以满足大规模复杂电磁问题的计算需求。例如，探索更高效的积分算法，进一步优化离散复镜像法和广义函数束拟合方法等，减少计算时间和内存消耗。

1. 多物理场耦合：考虑将半空间 Sommerfeld 积分电场集成器与其他物理场，如热场、应力场等进行耦合，研究多物理场相互作用下的电磁现象，拓展该方法的应用领域，如在电磁热效应分析、电磁力学研究等方面的应用。

1. 实际应用拓展：将该方法应用于更多实际工程问题，如复杂介质环境下的天线设计、电磁屏蔽效果分析、生物电磁学研究等，为这些领域的发展提供更精确的电磁计算工具。

1. 理论完善：进一步深入研究二重格林函数和 Sommerfeld 积分理论，探索在更复杂边界条件和介质特性下的理论模型，完善半空间电磁问题的理论体系，为该方法的持续发展提供坚实的理论基础。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 罗万.半空间环境中目标的电磁散射特性一体化建模及高效算法研究[D].电子科技大学[2025-08-01].DOI:CNKI:CDMD:1.1016.176841.

[2] 邵长金,李相方.离散复镜像法求取层状介质的格林函数[J].中国石油大学学报：自然科学版, 2006, 30(1):4.DOI:10.3321/j.issn:1000-5870.2006.01.034.

[3] 庞福滨,嵇建飞,张鹏飞,等.广义Sommerfeld积分矩函数方法及其在接地网参数计算中的应用[J].电网技术, 2020, 44(4):6.DOI:10.13335/j.1000-3673.pst.2019.1896.

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