9、图形卡上的并行最短格向量枚举

图形卡上的并行最短格向量枚举

1. 最短格向量枚举算法

最短格向量的枚举以深度优先搜索顺序进行，其关键在于裁剪搜索树的部分分支，即确定哪些子树需要探索，哪些无法得到更短的向量。

设 $i$ 为树的当前层级，$i = 1$ 为树的底部，$i = n$ 为树的顶部。枚举算法的每一步包括：
1. 计算中间平方范数 $l_i$；
2. 在树中向上或向下移动一层（到层级 $i’ \in {i - 1, i + 1}$）；
3. 确定坐标 $x_{i’}$ 的新值。

令 $r_i = |b_i^*|^2$，定义 $l_i = l_{i + 1} + y_i^2 r_i$，其中 $y_i = x_i - c_i$，$c_i = -\sum_{j = i + 1}^{n} \mu_{j, i} x_j$。对于特定的坐标选择 $x_i \cdots x_n$，对于所有以相同坐标 $x_i \cdots x_n$ 结尾的坐标向量 $x$，都有 $l_k \geq l_i$（$k < i$）。这意味着中间范数 $l_i$ 可用于裁剪不可行的子树。如果 $l_i > A$（$A$ 是到目前为止找到的最短向量的平方范数），算法将增加 $i$ 并在树中向上移动；否则，算法将降低 $i$ 并在树中向下移动。通常，最短向量长度的初始边界 $A$ 使用第一个基向量的范数。

$x_{i’}$ 的下一个值在以 $c_{i’}$ 为中心、长度为 $\sqrt{\frac{A - l_{i’ + 1}}{r_{i’}}}$ 的区间内选择。该区间按照 [SE91] 中描述的之字形模式进行枚举。从中心值 $\lfloor c_{i’}\rfloor$ 开始，ENU