15、量子计算中的合取查询算法探索

量子计算中的合取查询算法探索

1. 量子计算与合取算法背景

量子计算基于量子力学定律，为计算带来了全新的途径。量子算法在解决某些问题上比经典算法更高效，例如Shor算法和Grover搜索算法。然而，理解量子算法相较于概率算法的优势，仍是量子计算领域的重要问题。

在布尔函数计算中，每个布尔函数都能表示为合取范式（CNF），即由变量或其否定的析取式进行合取得到。因此，高效的合取算法对于计算任意布尔函数至关重要。在N位情况下，精确的量子异或（XOR）算法需要N/2次查询，而精确的量子析取（OR）与合取（AND）算法则需要N次查询，这是已证明的下限。

为了扩大经典算法与量子算法的复杂度差距，需要开发尽可能高效的量子合取算法。Grover搜索算法理论上可用于计算N位合取，仅需$O(\sqrt{N})$次查询，但该方法仅在N足够大时才比经典算法更高效。实际应用中，常常需要对少量变量的合取进行大量评估，因此寻找适用于变量数量不多情况的合取计算方法十分必要。

此前，对于两位合取的计算已有相关成果。文献中提到的一种方法给出了一个有界误差的量子算法，一次查询的正确答案概率为$p = 2/3$；另一种一次查询算法的正确答案概率提高到了$p = 3/4$。

2. 相关概念定义

• 经典查询模型 ：经典查询模型即决策树，用于计算布尔函数。布尔函数的定义已知，但输入$X = (x_1, x_2, …, x_N)$隐藏在黑盒中，需通过查询$x_i$的值来访问。算法的复杂度由最坏情况下的查询次数衡量。
  • 确定性复杂度 ：函数$f$的确