11、利用随机过程求解偏微分方程

利用随机过程求解偏微分方程

1. 引言

化学反应系统在现实世界中无处不在，许多反应系统构成了生命物质。随着环境的变化，会发生许多信号级联、信号转换、蛋白质生成等过程，以适应新环境。从这个意义上说，这些反应系统可被视为生命物质中的信息处理系统。此外，生态系统中的捕食关系在数学上的表达与化学反应系统类似。因此，化学反应系统的数学模型具有广泛的应用，揭示反应系统的数学特性具有重要意义。

为了研究化学反应系统，有时会使用速率方程方法来描述反应系统的动力学。例如，Lotka - Volterra系统可以用联立微分方程有效描述，并呈现出振荡行为。然而，基于速率方程的描述依赖于系统规模足够大的假设。如果系统规模较小，随机性就变得重要，需要用随机描述来刻画反应系统的动力学。实际上，已经发现波动在生命物质中起着重要作用。因此，可以使用主方程来充分描述系统的随机行为，或者使用Gillespie算法进行精确的数值计算。此外，随机微分方程或Fokker - Planck方程也被广泛使用。Fokker - Planck方程是偏微分方程，通过Kramers - Moyal展开法或van Kampen的规模展开法从原始主方程推导而来。从这个意义上说，反应系统的动力学与偏微分方程近似相关。

本文的目的不是求解化学系统的动力学，而是利用这些动力学来解决不同的问题。即展示一个利用随机过程（如反应系统）求解偏微分方程的理论框架。该框架基于随机过程中的“对偶性”概念，这是主方程和偏微分方程之间的精确对应关系（注意主方程和Fokker - Planck方程之间的对应是近似的）。对偶性概念在数学和物理中得到了广泛研究和应用。利用主方程的解，可以在不直接求解偏微分方程的情况下，获得偏微分方程的m阶矩类量。从非常规计算的角度来