33、半平面与豪斯多夫距离：计算几何中的关键概念

半平面与豪斯多夫距离：计算几何中的关键概念

1 引言

在计算几何和拓扑学中，半平面和豪斯多夫距离是两个重要的概念，广泛应用于形状匹配、模式识别和图像处理等领域。本文将深入探讨这两个概念的定义、性质及其在实际应用中的作用，帮助读者更好地理解和应用这些工具。

2 半平面的定义与性质

2.1 半平面的定义

半平面是指由一条直线将其所在的平面分为两部分后的一侧。数学上，给定一条直线 ( L ) 和一个点 ( P )，若 ( P ) 不在 ( L ) 上，则 ( P ) 所在的一侧称为半平面。具体来说，设直线 ( L ) 的方程为 ( ax + by + c = 0 )，则半平面可以表示为：

[ H^+ = {(x, y) \mid ax + by + c > 0} ]

[ H^- = {(x, y) \mid ax + by + c < 0} ]

2.2 半平面的性质

1. 分割性质 ：半平面可以将平面划分为两部分，且这两部分互不相交。
2. 凸性 ：半平面是一个凸集，即任意两点之间的线段完全位于半平面内。
3. 封闭性 ：半平面可以是开的或闭的，取决于是否包含边界直线。

2.3 半平面的应用

半平面在几何问题中有着广泛的应用，例如：

• 线性不等式组 ：多个半平面的交集可以表示一组线性