1、计算几何、拓扑与视觉场景物理学

计算几何、拓扑与视觉场景物理学

1 引言

在现代图像处理和计算机视觉领域，理解视觉场景的几何、拓扑和物理特性至关重要。通过在视觉场景图像上绘制细胞复合体，我们可以近似表面形状。细胞复合体由相互连接的顶点和边组成，三角形则由这些边自然形成。这些结构不仅帮助我们理解形状的几何特性，还揭示了它们的拓扑和物理属性。

2 计算几何学

计算几何学是一种配备了大量逐步方法的几何学，它将经典几何学提升到了一个实用的水平，可以从视觉场景中用多边形铺砌的物理形状中提取有用信息。计算几何学的核心在于通过算法解决几何问题，使得复杂形状的分析变得可行。例如，计算几何学可以帮助我们确定多边形的面积、周长，以及它们之间的关系。

2.1 多边形的计算

多边形是计算几何学中最基本的形状之一。为了更好地理解和处理多边形，我们需要掌握一些基本概念和算法：

• 多边形的表示 ：多边形通常由一组有序的顶点表示。每个顶点可以用二维坐标 (x, y) 来描述。
• 多边形的面积 ：计算多边形面积的常用方法是使用Shoelace公式。假设一个多边形的顶点按顺序为 ( (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n) )，则其面积 ( A ) 可以表示为：

[
A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) + (x_n y_1 - y_n x_1) \right|
]