19、组合拓扑、数字拓扑与几何测量计算

组合拓扑、数字拓扑与几何测量计算

1. 简单闭曲面的点数量定理

简单闭曲面至少有14个点。这一结论的证明基于数字曲面的定义，数字曲面不包含任何3 - 胞（立方体），所以任意两个角点（M3中的点）不能相邻。每个简单闭曲面至少有8个角点，每个角点连接三条边，这些边不会连接到其他角点，这样就有24（3×8）个非角点，但有些点被重复计算了。

闭曲面的点数计算公式为：
[|M_3(S)| + |M_4(S)| + |M_5(S)| + |M_6(S)| = 8 + |M_4(S)| + 2|M_5(S)| + 3|M_6(S)|]
并且满足不等式：
[4|M_4(S)| + 5|M_5(S)| + 6|M_6(S)| \geq 24]
通过求解整数规划问题：
[
\begin{cases}
8 + |M_4(S)| + 2|M_5(S)| + 3|M_6(S)| = \min \
4|M_4(S)| + 5|M_5(S)| + 6|M_6(S)| \geq 24
\end{cases}
]
得到 (|M_4(S)| = 6) 且 (|M_5(S)| = |M_6(S)| = 0)，即任何简单闭曲面至少有14个点。

2. 拓扑与几何相关概念

在计算机图形学中，离散流形通常指的是网格化对象。布劳威尔证明的单纯逼近定理是一个基础成果，它表明连续流形在某种程度上等同于单纯复形的一个子类。在计算方面，使用多边形或三角形进行分解不会增加太多时间，因为多边形可以在线性时间内划分为三角形。但对于数据重建，不同的三角剖分可能会产生非常不同的结果。

3.