27、超椭圆曲线上通过超椭圆网计算泰特 - 利希滕鲍姆配对

超椭圆曲线上通过超椭圆网计算泰特 - 利希滕鲍姆配对

1. 引言

在椭圆和超椭圆曲线密码学领域，各种配对（如韦伊配对和泰特 - 利希滕鲍姆配对）起着重要作用。高效计算这些配对是一个重要问题，其中泰特 - 利希滕鲍姆配对因其高效性而被广泛研究。

此前，Stange 提出了一种基于椭圆网计算椭圆曲线上泰特配对的新算法。椭圆网的定义如下：设 $A$ 是一个有限生成的自由阿贝尔群，$R$ 是一个整环。若映射 $W : A \to R$ 满足 $W(0) = 0$，且对于所有的 $p, q, r, s \in A$ 有：
[W(p + q + s)W(p - q)W(r + s)W(r) + W(q + r + s)W(q - r)W(p + s)W(p) + W(r + p + s)W(r - p)W(q + s)W(q) = 0]
则称 $W$ 是一个椭圆网。Stange 定义了与椭圆曲线 $E$ 及点 $P = (P_1, \ldots, P_n)$ 相关的椭圆网 $W_P$，并利用它描述了椭圆曲线上的泰特配对。

本文将 Stange 的结果推广到超椭圆曲线。首先定义与超椭圆曲线及其雅可比簇上的点相关的超椭圆网，并证明其性质。接着给出用超椭圆网表示超椭圆曲线上泰特 - 利希滕鲍姆配对的表达式。最后，给出通过超椭圆网计算亏格为 2 的超椭圆曲线上泰特 - 利希滕鲍姆配对的算法。

2. 超椭圆西格玛函数

设 $C$ 是由 $y^2 = f(x) = x^{2g + 1} + \lambda_{2g}x^{2g} + \cdots + \lambda_1x + \lambda_0$ 定义的光滑射影曲线，其中 $f(x)$ 无重