31、雅可比椭圆曲线上的泰特对计算

雅可比椭圆曲线上的泰特对计算

1. 引言

在密码学和代数几何领域，椭圆曲线对的计算是一个重要的研究课题。泰特对（Tate pairing）作为一种重要的双线性对，在许多密码学应用中有着广泛的用途。本文将深入探讨雅可比椭圆曲线上的泰特对计算，包括相关曲线的定义、群运算规则、米勒算法（Miller Algorithm）以及不同曲线形式下的计算成本比较。

2. 基本概念与算法

2.1 米勒算法

米勒算法是计算泰特对的核心算法，其输入为 $P \in E(F_q)[r]$ 和 $Q \in E(F_{q^k})/rE(F_{q^k})$，其中 $r = (r_{n - 1}, r_{n - 2}, \ldots, r_1, r_0) 2$ 且 $r {n - 1} = 1$，输出为 $P$ 和 $Q$ 的泰特对 $f_{r, P}(Q)$。具体步骤如下：

1. 设置 f ← 1 和 R ← P
2. 对于 i 从 n - 2 递减到 0
    设置 f ← f^2 · h_R,R(Q) 且 R ← 2R
    如果 r_i = 1，则 f ← f · h_R,P(Q) 且 R ← R + P
3. f ← f^{(q^k - 1)/r}

经过 $n - 1$ 次迭代后，可得到具有除子 $r(P) - r(O)$ 的函数 $f$ 在 $Q$ 处的求值。

2.2 符号说明

为了方便后续的计算和讨论，我们定义以下符号：
- $m, s$：基域 $F_q$ 中乘法和平方运算的成本
- $m_c$：基域 $F_q$ 中与常数 $c$ 相乘的成本
- $M, S$：扩展域 $F_{q^k}$ 中乘法和平方运算的成本

3. 雅可比相交曲线

3.1 曲线定义

雅可比相交形式的椭圆曲线 $E_a$ 在有限域 $F_q$ 上定义为：
$$
\begin{cases}
-x^2 + y^2 = 1 \
ax^2 + z^2 = 1
\end{cases}
$$
其中 $a \in F_q$ 且 $a(a - 1) \neq 0$。该曲线与魏尔斯特拉斯形式的椭圆曲线 $y^2 = x(x - 1)(x - a)$ 同构。

3.2 点的表示

雅可比相交曲线上的仿射点 $(x, y, z)$ 可以用射影齐次坐标 $(X : Y : Z : T)$ 表示，满足：
$$
\begin{cases}
-X^2 + Y^2 = T^2 \
aX^2 + Z^2 = T^2
\end{cases}
$$
且 $(x, y, z) = (X/T, Y/T, Z/T)$，其中 $T \neq 0$。点 $(X : Y : Z : T)$ 的负元为 $(-X : Y : Z : T)$，中性元 $P_0 = (0, 1, 1)$ 表示为 $(0 : 1 : 1 : 1)$。当 $T = 0$ 时，可得到四个无穷远点：$\Omega_1 = (1 : s : t : 0)$，$\Omega_2 = (1 : s : -t : 0)$，$\Omega_3 = (1 : -s : t : 0)$ 和 $\Omega_4 = (1 : -s : -t : 0)$，其中 $1 + s^2 = 0$ 且 $a + t^2 = 0$。

3.3 群运算规则

• 点加法 ：设两个点分别由 $(X_1 : Y_1 : Z_1 : T_1 : U_1 : V_1)$ 和 $(X_2 : Y_2 : Z_2 : T_2 : U_2 : V_2)$ 表示，其中 $U_1 = X_1Y_1$，$V_1 = Z_1T_1$，$U_2 = X_2Y_2$，$V_2 = Z_2T_2$，它们的和为 $(X_3 : Y_3 : Z_3 : T_3 : U_3 : V_3)$，具体计算如下：

E ← X1Z2; F ← Y1T2; G ← Z1X2; H ← T1Y2; J ← U1V2; K ← V1U2;
X3 ← (H + F)(E + G) - J - K; 
Y3 ← (H + E)(F - G) - J + K;
Z3 ← (V1 - aU1)(U2 + V2) + aJ - K; 
T3 ← (H + G)^2 - 2K; 
U3 ← X3Y3; 
V3 ← Z3T3.

该点加法的成本为 $11m + 1s + 2m_a$。
- 点加倍 ：点 $(X_1 : Y_1 : Z_1 : T_1 : U_1 : V_1)$ 的加倍结果为 $(X_3 : Y_3 : Z_3 : T_3 : U_3 : V_3)$，计算过程如下：

E ← V1^2; F ← U1^2; G ← aF; 
T3 ← E + G; 
Z3 ← E - G; 
Y3 ← 2(F + Y1^4) - T3; 
X3 ← (U1 + V1)^2 - E - F; 
U3 ← X3Y3; 
V3 ← Z3T3.

该点加倍的成本为 $2m + 5s + 1m_a$。

4. 雅可比四次曲线

4.1 曲线定义

雅可比四次椭圆曲线 $E_d$ 在有限域 $F_q$ 上定义为 $y^2 = dx^4 + 2\delta x^2 + 1$，其判别式 $\Delta = 256d(\delta^2 - d)^2 \neq 0$。在某些条件下，它与魏尔斯特拉斯曲线 $y^2 = x^3 - 4dx$ 双有理等价。本文主要关注特殊的雅可比四次曲线 $E_d : Y^2 = dX^4 + Z^4$，因为它具有一些有趣的性质，如四次扭转（quartic twist），有助于提高对的计算效率。

4.2 群运算规则

• 点加法 ：在仿射模型上，点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的加法结果 $(x_3, y_3)$ 由以下公式给出：
  $$
  x_3 = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1y_2 - y_1x_2} \quad y_3 = \frac{(x_1 - x_2)^2}{(x_1y_2 - y_1x_2)^2}(y_1y_2 + 1 + dx_1^2x_2^2) - 1
  $$
  通过坐标替换，可得到射影坐标下的公式：
  $$
  X_3 = X_1^2Z_2^2 - Z_1^2X_2^2 \quad Z_3 = X_1Z_1Y_2 - X_2Z_2Y_1 \quad Y_3 = (X_1Z_2 - X_2Z_1)^2(Y_1Y_2 + (Z_1Z_2)^2 + d(X_1X_2)^2) - Z_3^2
  $$
• 点加倍 ：点 $(x_1, y_1)$ 的加倍结果 $(x_3, y_3)$ 为：
  $$
  x_3 = \frac{2y_1}{2 - y_1^2}x_1 \quad y_3 = \frac{2y_1}{2 - y_1^2}(\frac{2y_1}{2 - y_1^2} - y_1) - 1
  $$
  同样通过坐标替换，得到射影坐标下的公式：
  $$
  X_3 = 2X_1Y_1Z_1 \quad Z_3 = Z_1^4 - dX_1^4 \quad Y_3 = 2Y_1^4 - Z_3^2
  $$

5. 雅可比曲线的扭转

5.1 扭转的定义

椭圆曲线 $E$ 在有限域 $F_q$ 上的扭转（twist）是指在 $F_q$ 上的另一条椭圆曲线 $E’$，使得 $E$ 和 $E’$ 在 $F_q$ 的代数闭包上同构。最小的整数 $t$ 使得 $E$ 和 $E’$ 在 $F_{q^t}$ 上同构，称为扭转的次数。

5.2 雅可比相交曲线的二次扭转

雅可比相交曲线 $E_a$ 在 $F_{q^k/2}$ 上的二次扭转（$t = 2$）曲线定义为：
$$
\begin{cases}
-\delta^2x^2 + y^2 = 1 \
a\delta^2x^2 + z^2 = 1
\end{cases}
$$
其中 ${1, \delta}$ 是 $F_{q^k}$ 作为 $F_{q^k/2}$ - 向量空间的基，且 $\delta^2 \in F_{q^k/2}$。$E_{a, \delta}$ 与 $E_a$ 在 $F_{q^k}$ 上的同构映射为：
$$
\psi : E_{a, \delta} \to E_a \quad (x, y, z) \mapsto (\delta x, y, z)
$$

5.3 雅可比四次曲线的扭转

雅可比四次曲线 $Y^2 = dX^4 + Z^4$ 在 $F_{q^k/4}$ 上的四次扭转曲线定义为 $E_{d, \omega} : Y^2 = d\omega^4X^4 + Z^4$，其中 $\omega \in F_{q^k}$ 满足 $\omega^2 \in F_{q^k/2}$，$\omega^3 \in F_{q^k} \setminus F_{q^k/2}$ 且 $\omega^4 \in F_{q^k/4}$。$E_{d, \omega}$ 与 $E_d$ 在 $F_{q^k}$ 上的同构映射为：
$$
\psi : E_{d, \omega} \to E_d \quad (X : Y : Z) \mapsto (\frac{X}{\omega^2} : \frac{Y}{\omega^6} : \frac{Z}{\omega^3})
$$

6. 雅可比相交曲线上的对计算

6.1 群运算的几何解释

为了找到函数 $h_{R, S}$，我们需要对雅可比相交曲线的群运算进行几何解释。设 $P_0 = (0, 1, 1)$ 为曲线上的 $F_q$ - 有理点，作为单位元。曲线上的三个点 $P_1$，$P_2$，$P_3$ 之和为零当且仅当 $P_0$，$P_1$，$P_2$，$P_3$ 四点共面。点 $-P_1$ 是过 $P_1$ 且包含曲线在 $P_0$ 处切线的平面与曲线的剩余交点。

设 $f_{P_1, P_2}(x, y, z) = 0$ 是由点 $P_1$，$P_2$ 和 $P_0$ 定义的平面方程。如果 $P_1 = P_2$，则 $f_{P_1, P_1}$ 是曲线在 $P_1$ 处且过 $P_0$ 的切平面方程。该平面与 $E_a$ 相交于 $R = -(P_1 + P_2) = -P_3$，则 $Div(f_{P_1, P_2}) = (P_1) + (P_2) + (R) + (P_0) - (\Omega)$，其中 $\Omega = (\Omega_1) + (\Omega_2) + (\Omega_3) + (\Omega_4)$ 是一个有理除子。

设 $g_R(x, y, z) = 0$ 是过 $R$ 且包含曲线在 $P_0$ 处切线的平面方程，该平面与曲线 $E_a$ 相交于点 $-R$，则 $Div(g_R) = (R) + 2(P_0) + (-R) - (\Omega)$。定义 $h_{P_1, P_2} = \frac{f_{P_1, P_2}}{g_R}$，则 $Div(h_{P_1, P_2}) = (P_1) + (P_2) - (P_1 + P_2) - (P_0)$。

具体来说，函数 $f_{P_1, P_2}$ 和 $g_R$ 定义如下：
$$
f_{P_1, P_2}(x, y, z) = \alpha x + \beta(y - 1) + \gamma(z - 1)
$$
其中：
$$
\alpha =
\begin{cases}
(z_2 - 1)(y_1 - 1) - (y_2 - 1)(z_1 - 1) & \text{如果 } P_1 \neq P_2 \
x_1(-a(y_1 - 1) + z_1 - 1) & \text{如果 } P_1 = P_2
\end{cases}
$$
$$
\beta =
\begin{cases}
x_2(z_1 - 1) - x_1(z_2 - 1) & \text{如果 } P_1 \neq P_2 \
y_1(z_1 - 1) & \text{如果 } P_1 = P_2
\end{cases}
$$
$$
\gamma =
\begin{cases}
x_1(y_2 - 1) - x_2(y_1 - 1) & \text{如果 } P_1 \neq P_2 \
-z_1(y_1 - 1) & \text{如果 } P_1 = P_2
\end{cases}
$$
$$
g_{P_3}(x, y, z) = (z_3 - 1)(y - 1) + (1 - y_3)(z - 1)
$$

6.2 米勒函数的计算

假设 $k$ 为偶数，设 $(x_Q, y_Q, z_Q) \in E_{a, \delta}(F_{q^{k/2}})$，通过 $\delta$ 扭转后，配对的第二个参数为 $Q = (\delta x_Q, y_Q, z_Q)$，其中 $x_Q$，$y_Q$ 和 $z_Q$ 在 $F_{q^{k/2}}$ 中。
- 点加法 ：根据定理 1，$h_{P_1, P_2}(\delta x_Q, y_Q, z_Q)$ 可以表示为：
$$
h_{P_1, P_2}(\delta x_Q, y_Q, z_Q) = \frac{\alpha x_Q\delta + \beta(y_Q - 1) + \gamma(z_Q - 1)}{(z_3 - 1)y_Q + (1 - y_3)z_Q + (y_3 - z_3)}
$$
通过坐标替换，可得到射影坐标下的表达式。由于最终米勒循环的输出要进行 $(q^k - 1)/r$ 次幂运算，且 $q^{k/2} - 1$ 是 $(q^k - 1)/r$ 的一个因子，所以可以丢弃一些属于 $F_{q^{k/2}}$ 的项。最终只需计算 $(\alpha’M_1)\delta + \beta’N_1 + \gamma’$，其中 $M_1 = \frac{x_Q}{z_Q - 1}$，$N_1 = \frac{y_Q - 1}{z_Q - 1}$。每个 $\alpha’$ 与 $M_1$、$\beta’$ 与 $N_1$ 的乘法成本为 $\frac{k}{2}m$。计算系数 $\alpha’$，$\beta’$ 和 $\gamma’$ 需要 $6m$，点加法需要 $11m + 1s + 2m_a$。因此，点加法和米勒值计算总共需要 $1M + (k + 17)m + 1s + 2m_a$。如果采用混合加法（mixed addition），将点 $P_2$ 用仿射坐标表示（即 $T_2 = 1$），则成本可降低到 $1M + (k + 16)m + 1s + 2m_a$。
- 点加倍 ：同样根据定理 1，$h_{P_1, P_1}(\delta x_Q, y_Q, z_Q)$ 可表示为：
$$
h_{P_1, P_1}(\delta x_Q, y_Q, z_Q) = \frac{x_1(-a(y_1 - 1) + z_1 - 1)x_Q\delta + y_1(z_1 - 1)(y_Q - 1) - z_1(y_1 - 1)(z_Q - 1)}{(z_3 - 1)y_Q + (1 - y_3)z_Q + (y_3 - z_3)}
$$
经过坐标替换和化简，最终只需计算 $(\alpha’_1M_2)\delta + \beta’_1N_2 - \gamma’_1$，其中 $M_2 = \frac{2a x_Q}{z_Q - 1}$，$N_2 = \frac{a y_Q}{z_Q - 1}$。每个 $\alpha’_1$ 与 $M_2$、$\beta’_1$ 与 $N_2$ 的乘法成本为 $\frac{k}{2}m$。计算 $\alpha’_1$，$\beta’_1$ 和 $\gamma’_1$ 需要 $3m$，点加倍需要 $2m + 5s + 1m_a$。因此，点加倍和米勒值计算总共需要 $1M + 1S + (k + 5)m + 5s + 1m_a$。

6.3 结果比较

不同曲线形式下的泰特对计算成本比较如下表所示：
| 曲线类型 | 点加倍 | 混合加法 |
| — | — | — |
| Weierstrass (a = 0) | 1M + 1S + (k + 2)m + 7s + 1m_b | 1M + (k + 10)m + 2s |
| Twisted Edwards | 1M + 1S + (k + 6)m + 5s + 2m_a | 1M + (k + 12)m + 1m_a |
| Jacobi quartic | 1M + 1S + (k + 4)m + 8s + 1m_a | 1M + (k + 16)m + 1s + 4m_{a, d} |
| 本文方法 | 1M + 1S + (k + 5)m + 5s + 1m_a | 1M + (k + 16)m + 1s + 2m_a |

从表中可以看出，本文提出的方法在某些情况下具有一定的优势。

7. 雅可比四次曲线 $E_d : Y^2 = dX^4 + Z^4$ 上的泰特对计算

7.1 米勒函数的推导

雅可比四次曲线 $E_d : Y^2 = dX^4 + Z^4$ 与魏尔斯特拉斯曲线 $E : y^2 = x^3 - 4dx$ 双有理等价。对于魏尔斯特拉斯曲线上的两点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，满足 $P_3(x_3, y_3) = P_1 + P_2$，其米勒函数 $h(x, y)$ 定义为：
$$
h(x, y) = \frac{y - \lambda x - \alpha}{x - x_3}
$$
其中 $\lambda = \begin{cases} \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} & \text{如果 } P_1 \neq P_2 \ \frac{3x_1^2 - 4d}{2y_1} & \text{如果 } P_1 = P_2 \end{cases}$ 且 $\alpha = y_1 - \lambda x_1$。

通过双有理等价映射 $\phi$，可得到雅可比四次曲线 $E_d$ 上的米勒函数 $H(X, Y, Z) = h(\phi(X, Y, Z))$：
$$
H(X, Y, Z) = \frac{4X_3^2}{X_2^2X_3^2(Y + Z^2) - 2X_2(Y_3 + Z_3^2)}(\frac{ZY + Z^3}{X_3} - \frac{1}{2}\lambda(\frac{Y + Z^2}{X_2}) - \frac{\alpha}{4})
$$
其中 $\lambda$ 和 $\alpha$ 的表达式根据 $P_1$ 和 $P_2$ 是否相等而有所不同。

7.2 米勒函数的简化

通过扭转技术，在泰特对计算中可以选择点 $Q$ 为 $(\frac{X_Q}{\omega^2} : \frac{Y_Q}{\omega^6} : \frac{Z_Q}{\omega^3})$ 或 $(x_Q\omega, y_Q, 1)$ 的仿射坐标形式，其中 $X_Q$，$Y_Q$，$Z_Q$，$x_Q$ 和 $y_Q$ 在 $F_{q^{k/4}}$ 中。经过化简，可得到简化后的米勒函数 $H$：
$$
H = B\frac{y_Q + 1}{x_Q^2\omega^4}\omega^2 + D\frac{y_Q + 1}{x_Q^3\omega^4}\omega + A
$$
由于 $Q$ 在配对计算过程中是固定的，所以 $\frac{y_Q + 1}{x_Q^3\omega^4}$ 和 $\frac{y_Q + 1}{x_Q^2\omega^4}$ 可以在 $F_{q^{k/4}}$ 中预先计算。每个 $D\frac{y_Q + 1}{x_Q^3\omega^4}$ 和 $B\frac{y_Q + 1}{x_Q^2\omega^4}$ 的乘法成本为 $\frac{k}{4}m$。

在米勒算法中，如果使用普通乘法，$F_{q^k}$ 中主要乘法的成本不是 $1M$ 而是 $(\frac{1}{k} + \frac{1}{2})M$。如果使用对友好域（pairing friendly fields），嵌入度 $k = 2^i3^j$，则 $F_{q^k}$ 中乘法或平方的成本可以通过 Karatsuba 和（或）Toom - Cook 乘法方法计算，此时 $F_{q^k}$ 中主要乘法的成本为 $\frac{7\cdot3^{i - 2}5^j + 2^{i - 2}3^j}{3^i5^j}M$。

总结

本文详细研究了雅可比椭圆曲线上的泰特对计算，包括雅可比相交曲线和雅可比四次曲线。通过对群运算规则、米勒算法以及曲线扭转的深入分析，给出了不同曲线形式下的泰特对计算方法和成本比较。结果表明，本文提出的方法在某些情况下具有一定的优势，为椭圆曲线对的计算提供了新的思路和方法。未来的研究可以进一步探索如何优化计算成本，提高计算效率，以及将这些方法应用到更多的密码学场景中。

雅可比椭圆曲线上的泰特对计算

8. 计算流程总结

为了更清晰地展示雅可比椭圆曲线上泰特对计算的整体流程，下面给出一个简化的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[输入 P, Q, r] --> B[初始化 f = 1, R = P];
    B --> C{i = n - 2 到 0};
    C -- 是 --> D[f = f^2 * h_R,R(Q), R = 2R];
    D --> E{ri = 1};
    E -- 是 --> F[f = f * h_R,P(Q), R = R + P];
    E -- 否 --> G[继续循环];
    F --> G;
    G --> C;
    C -- 否 --> H[f = f^((q^k - 1)/r)];
    H --> I[输出 f 作为泰特对结果];

这个流程图展示了米勒算法的核心步骤，包括点的加倍、加法以及最终的幂运算。

9. 雅可比四次曲线计算细节优化

9.1 点表示的优化

在雅可比四次曲线的计算中，为了提高效率，我们采用了 $(X : Y : Z : X^2 : Z^2)$ 的点表示形式（$Z \neq 0$）。这种表示方式在计算过程中可以减少乘法运算。例如，当已知 $X$ 和 $Z$ 时，$XZ$ 可以通过 $((X + Z)^2 - X^2 - Z^2)/2$ 计算，将一个乘法运算替换为一个平方和三个加法运算，前提是平方和加法运算更高效。

9.2 系数计算的优化

在计算米勒函数的系数 $A$、$B$ 和 $D$ 时，我们可以利用曲线的性质和已知的点表示进行优化。例如，在计算过程中，一些中间结果可以被重复使用，避免重复计算。具体来说，在计算 $\lambda$ 和 $\alpha$ 时，涉及到的一些项可以提前计算并存储，以减少后续的计算量。

10. 不同曲线形式的性能分析

10.1 成本对比分析

从前面给出的不同曲线形式下的泰特对计算成本比较表可以看出，不同曲线在点加倍和混合加法的计算成本上存在差异。本文提出的雅可比相交曲线和雅可比四次曲线的方法在某些情况下具有优势。例如，在点加倍操作中，雅可比相交曲线的方法相比 Weierstrass (a = 0) 曲线减少了一些平方运算；在混合加法操作中，雅可比相交曲线的方法与 Jacobi quartic 曲线的成本相近，但在某些系数的计算上可能更简单。

10.2 影响因素分析

影响不同曲线形式下泰特对计算成本的因素主要包括曲线的结构、群运算规则以及扭转技术的应用。例如，雅可比曲线的特殊结构使得其在群运算中可以利用一些代数性质进行简化；扭转技术的应用可以将点的计算转移到较小的扩展域中，从而减少计算成本。

11. 实际应用中的考虑

11.1 密码学应用场景

泰特对在密码学中有广泛的应用，如基于身份的加密、密钥交换协议等。在实际应用中，需要根据具体的场景选择合适的曲线形式和计算方法。例如，在对计算效率要求较高的场景中，可以选择本文提出的雅可比曲线方法；在对安全性要求较高的场景中，需要综合考虑曲线的参数和计算方法的安全性。

11.2 实现细节

在实际实现中，还需要考虑一些细节问题，如数据的存储和传输、计算的精度等。例如，在使用扭转技术时，需要确保扩展域的元素能够正确地表示和处理；在进行幂运算时，需要选择合适的算法以提高效率。

12. 总结与展望

12.1 总结

本文深入研究了雅可比椭圆曲线上的泰特对计算，涵盖了雅可比相交曲线和雅可比四次曲线。通过对曲线的定义、群运算规则、米勒算法以及扭转技术的详细分析，给出了不同曲线形式下的泰特对计算方法和成本比较。结果表明，本文提出的方法在某些情况下具有一定的优势，为椭圆曲线对的计算提供了新的思路和方法。

12.2 展望

未来的研究可以从以下几个方面展开：
- 计算成本优化 ：进一步探索如何优化雅可比曲线的群运算规则和米勒算法，减少计算成本，提高计算效率。例如，可以研究更高效的点表示形式和运算方法。
- 安全性分析 ：对雅可比曲线在不同密码学应用场景中的安全性进行深入分析，确保其在实际应用中的可靠性。
- 应用拓展 ：将雅可比曲线的泰特对计算方法应用到更多的密码学场景中，如多方计算、区块链等，拓展其应用范围。

通过不断的研究和优化，雅可比椭圆曲线上的泰特对计算有望在密码学领域发挥更大的作用。

附录：成本计算总结

在使用对友好域（$k = 2^i3^j$）时，根据 Karatsuba 和（或）Toom - Cook 乘法方法，$F_{q^k}$ 中乘法或平方的成本为 $3^i5^j$ 次 $F_q$ 中的乘法或平方运算。在米勒算法中，主要乘法的成本为 $\frac{7\cdot3^{i - 2}5^j + 2^{i - 2}3^j}{3^i5^j}M$。具体的计算过程如下：
1. 首先，根据对友好域的性质，将 $F_{q^k}$ 中的乘法或平方运算分解为 $F_q$ 中的运算。
2. 然后，利用 Karatsuba 和（或）Toom - Cook 乘法方法进行优化，得到具体的成本表达式。
3. 最后，将这些成本应用到米勒算法中，计算出主要乘法的成本。

这个附录总结了如何根据不同的域和乘法方法计算米勒算法中的成本，为实际应用提供了参考。