27、椭圆曲线配对：韦伊配对与泰特 - 利希滕鲍姆配对解析

椭圆曲线配对：韦伊配对与泰特 - 利希滕鲍姆配对解析

1. 韦伊配对的构建与性质

韦伊配对的构建目标是构造一个配对 ( e_n: E[n] \times E[n] \to \mu_n )，其中 ( E[n] ) 是椭圆曲线 ( E ) 上阶整除 ( n ) 的点构成的集合，( \mu_n ) 是域 ( K ) 中 ( n ) 次单位根的集合，且 ( n ) 不被域 ( K ) 的特征整除，同时 ( E[n] \subseteq E(K) )。

具体构建过程如下：
- 对于 ( T \in E[n] )，根据定理 11.2，存在函数 ( f ) 使得 ( \text{div}(f) = n[T] - n[\infty] )。
- 选择 ( T’ \in E[n^2] ) 满足 ( nT’ = T )，同样依据定理 11.2，存在函数 ( g ) 使得 ( \text{div}(g) = \sum_{R \in E[n]} ([T’ + R] - [R]) )。可以验证该除子中所有点的和为 ( \infty )，且 ( g ) 不依赖于 ( T’ ) 的选择。
- 定义 ( f \circ n ) 为对一个点先乘以 ( n ) 再应用 ( f ) 的函数，由 ( \text{div}(f \circ n) = \text{div}(g^n) ) 可知，( f \circ n ) 是 ( g^n ) 的常数倍，不妨设 ( f \circ n = g^n )。
- 对于 ( S \in E[n] ) 和 ( P \in E(K) )，有 ( g(P + S)^n = f(n(P + S)) = f(nP) = g(P)^n )，所以 ( g(P + S)/g(P) \