洛谷 P4581 [BJOI2014]想法随机化

最新推荐文章于 2023-11-10 09:51:40 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：暴力

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本文介绍了一种使用随机化算法解决复杂竞赛题目的方法，通过给每个想法随机分配权值，利用数集合并思想，高效计算组合题目涉及的想法集合大小，适用于大规模数据处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

小强和阿米巴是好朋友。小强要出一套题目。

他的题目以涉及面广（偏）、考察深入（怪）、思维强度大（难）著称。他为了出题，一共攒了M个本质不同的想法，每个想法形成了一个题目。不过，他觉得拿这些题目去考察选手会把比赛搞的太过变态，所以，想请阿米巴来帮忙调整一下他的题目。

阿米巴指出，为了让一场考试的题目的考察点尽量全面，有一个通用的做法叫做“组合”。如果把两个题目A和B组合在一起，那么组合而成的题目涉及到的想法的集合就是A涉及到的想法的集合和B涉及到的想法的集合的并。并且，题目是可以反复组合的。

例如，小强现在有三个想法1,2,3，分别对应了题目P1,P2,P3。

现在，小强把P1和P2组合得到P4。P4涉及的想法的集合是{1,2}。

之后，小强把P2和P3组合得到P5。P5涉及的想法的集合是{2,3}。

最后，小强把P4和P5组合得到P6。P6涉及的想法的集合是{1,2,3}。

现在，小强告诉你每个题目都是如何组合而来的。你要回答的就是，每个题目涉及的想法的集合有多大。

不过，这个问题是很难的。于是，你只需要能够以比较高的概率回答的比较准确即可。

输入输出格式

输入格式：
第一行两个整数N，M，依次表示小强的题目数量和想法的数量

接下来N-M行，每行两个整数，依次表示小强组合出来的题目都是由哪两个题组合而成的。M个想法对应的题目依次编号为1~M。之后，小强组合来的第一个题编号为M+1，组合出来的第二个题编号为M+2，依次类推。

M≤100000,N≤1000000

输出格式：
输出N-M行，每行一个整数表示小强组合出来的每个题都涉及了几个想法。

输入输出样例

输入样例#1：
6 3
1 2
2 3
4 5
输出样例#1：
2
2
3
说明

【评分方法】

对于每个输出文件，如果其中你有95%以上的行的答案和正确答案的误差不超过25%，那么你就可以得到分数。所谓误差不超过25%，即，如果正确答案是X，那么你的答案在[0.8X,1.25X]这个闭区间内。

分析：
我们给每个想法从 $[1, r a n d m a x]$ 随机一个权值，每个题相当于一个数集。
显然我们不能记录所有数，我们只记下前 $k$ 小的数。
处理合并就是把两个数集归并，不过不能有重复（只有个两个权值相同且属于同一个想法才要去掉）。
假如数集大小小于 $k$ ，直接输出数集大小。
否则假设第 $k$ 小的数是 $x$ ，有
$kx=ansrandmax\frac{k}{x}=\frac{ans}{randmax}$
我们设 $k = 50$ ，多跑几次求平均值即可。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#define LL long long

const int maxn=1e6+7;
const int randmax=1e8+7;
const int k=50;

using namespace std;

int a[maxn];
LL ans[maxn];
int f[maxn][51];
int q[maxn][2];
int n,m;

int random(int n)
{
    return (long long)rand()*rand()%n;
}

void merge(int x,int y,int d)
{
    int i=1,j=1,num=0;
    while (((f[x][i]) || (f[y][j])) && (num<k))
    {
        if (a[f[x][i]]<a[f[y][j]])
        {
            if (f[d][num]!=f[x][i]) f[d][++num]=f[x][i];
            i++;
        }
        else
        {
            if (f[d][num]!=f[y][j]) f[d][++num]=f[y][j];
            j++;
        }
    }
    f[d][0]=num;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    a[0]=randmax;
    for (int i=m+1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&q[i][0],&q[i][1]);	
    for (int T=1;T<=4;T++)
    {
        for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=random(randmax)+1;
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            f[i][0]=1;
            f[i][1]=i;
            for (int j=2;j<=k;j++) f[i][j]=0;
        }
        for (int i=m+1;i<=n;i++)
        {
            merge(q[i][0],q[i][1],i);
            if (f[i][0]<k) ans[i]=(LL)f[i][0]*4;
                      else ans[i]+=(LL)k*(LL)randmax/(LL)a[f[i][k]];
        }
    }	
    for (int i=m+1;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]/4);
}