bzoj 4002: [JLOI2015]有意义的字符串数论+矩阵乘法

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本文介绍了一种通过构建等比数列解决特定数学序列问题的方法，给出了详细的数学推导过程及C++实现代码，适用于求解形如(b+d/2)^n的数列问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
给出 $b, d, n$ ，求
$(b+d2)n(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n$
其中，
在这里插入图片描述

分析：
对于一个数列 $a_n$ ，满足
$a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$
则有
$an+μan−1=(p+μ)(an−1+μan−2)a_n+\mu a_{n-1}=(p+\mu)(a_{n-1}+\mu a_{n-2})$
那么就是一个等比数列，其中公比是 $p+μp+\mu$ 。
而本题中 $p+μ=b+d2p+\mu=\frac{b+\sqrt{d}}{2}$ ，解出 $p = b$ ， $q=d−b24q=\frac{d-b^2}{4}$ 。
进一步得到
当 $a_0=2$ ， $a_1=b$ ，通项满足
$an=(b+d2)n+(b−d2)na_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$
$(b+d2)n=an−(b−d2)n(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n=a_n-(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$
而 $(b−d2)∈(−1,0](\frac{b-\sqrt{d}}{2})\in(-1,0]$ ，所以 $(b−d2)n∈(−1,1)(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n\in(-1,1)$ 。
所以只有当 $(b−d2)n>1(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n>1$ 时，答案要减小1。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 4002
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:56 ms
    Memory:1292 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL unsigned long long
 
const LL mod=7528443412579576937;
 
using namespace std;
 
LL b,d,n,ans;
 
struct rec{
    LL a[2][2];
}A,B;
 
LL mul(LL x,LL y)
{
    LL tmp=0;
    for (;y;y>>=1)
    {
        if (y&1) tmp=(tmp+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
    }
    return tmp;
}
 
rec operator *(rec a,rec b)
{
    rec c;
    for (int i=0;i<2;i++)
    {
        for (int j=0;j<2;j++) c.a[i][j]=0;
    }
    for (int k=0;k<2;k++)
    {
        for (int i=0;i<2;i++)
        {
            for (int j=0;j<2;j++)
            {
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+mul(a.a[i][k],b.a[k][j]))%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
 
void power(LL n)
{
    for (;n;n>>=1)
    {
        if (n&1) B=B*A;
        A=A*A;
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&b,&d,&n);     
    A.a[0][0]=0,A.a[0][1]=(d-b*b)/4,A.a[1][0]=1,A.a[1][1]=b;
    B.a[0][0]=1,B.a[1][1]=1;
    power(n);       
    ans=(mul(B.a[0][0],2)+mul(B.a[1][0],b))%mod;
    if ((b*b!=d) && (n%2==0)) ans=(ans+mod-1)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
}