洛谷 P4238 【模板】多项式求逆 ntt

最新推荐文章于 2022-10-07 16:25:48 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：模板 fft-ntt

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本文介绍了一种基于多项式求逆的算法实现方法，包括其核心思想、具体步骤及代码实现，适用于处理大规模多项式运算的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给定一个多项式 $F(x)$ ，请求出一个多项式 $G(x)$ ，满足 $F(x)∗G(x)≡1(mod\ x^n )$ 。系数对 $998244353$ 取模。

输入输出格式

输入格式：
首先输入一个整数 $n$ ，表示输入多项式的次数。
接着输入 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$ ，代表 $F(x)$ 次数为 $i−1$ 的项的系数。

输出格式：
输出 $n$ 个数字，第 $i$ 个整数 $b_i$ ，代表 $G(x)$ 次数为 $i−1$ 的项的系数。

输入输出样例

输入样例#1：
5
1 6 3 4 9
输出样例#1：
1 998244347 33 998244169 1020
说明
$1≤n≤10^5 ,0≤a_i≤10^9$

分析：
多项式求逆的模板题。之前一直不知道后面的 $(mod\ x^n)$ 是什么意思，其实是对多项式 $x^n$ 取模，也就是次数大于 $n$ 的项为 $0$ 。设 $A(x)$ 为原多项式， $B'(x)$ 为在 $mod\ x^{n/2}$ 的逆元， $B(x)$ 为在 $mod\ x^{n}$ 逆元，这里是向上取整，因为这样才能使幂次达到 $n$ 。有

B (x) = 2 B^{'} (x) - A (x) * B^{' 2} (x)

$B(x)=2B'(x)-A(x)*B’^2(x)$
后面那个是两个卷积，次数要算对，wa了好久。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL p=998244353;
const LL G=3;
const int maxn=3e5+7;

using namespace std;

LL f[maxn],g[maxn],x[maxn],y[maxn],w[maxn];
LL n,len;
LL r[maxn];

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%p;
    if (y%2) c=(c*x)%p;
    return c;
}

void init(LL len)
{
    LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
    }
}

void ntt(LL *a,LL f)
{
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    }   
    w[0]=1;
    for (LL i=2;i<=len;i*=2)
    {
        LL wn;
        if (f==1) wn=power(G,(LL)(p-1)/i);
             else wn=power(G,(LL)(p-1)-(p-1)/i);
        for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
        for (LL j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=(w[j-1]*wn)%p;
        for (LL j=0;j<len;j+=i)
        {
            for (LL k=0;k<i/2;k++)
            {
                LL u=a[j+k],v=(a[j+k+i/2]*w[k])%p;
                a[j+k]=(u+v)%p;
                a[j+k+i/2]=(u-v+p)%p;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        LL inv=power(len,p-2);
        for (LL i=0;i<len;i++) a[i]=(a[i]*inv)%p;
    }
}

void NTT(LL *a,LL *b,LL *c,LL n,LL m)
{   
    len=1;
    while (len<=(n+m)) len*=2;
    init(len);
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<n) x[i]=a[i]; else x[i]=0;
        if (i<m) y[i]=b[i]; else y[i]=0;
    }   
    ntt(x,1); ntt(y,1);
    for (LL i=0;i<len;i++) c[i]=(2*y[i]+p-x[i]*y[i]%p*y[i]%p)%p;
    ntt(c,-1);
}

void solve(LL *a,LL *b,LL k)
{
    if (k==1)
    {       
        b[0]=power(a[0],p-2);
        return;     
    }
    LL d=(k+1)/2;
    solve(a,b,d);   
    NTT(a,b,b,n,k);
    for (int i=k;i<len;i++) b[i]=0;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (LL i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld",&f[i]);
        f[i]%=p;
    }   
    solve(f,g,n);
    for (LL i=0;i<n;i++) printf("%lld ",g[i]);
}