CF317D Game with Powers sg函数

本文探讨了一个关于两人轮流选取数字的游戏策略问题。通过分析游戏规则,利用SG函数求解每个分组的最佳策略,并结合NIM游戏原理,最终确定胜者。文中还提供了具体的实现代码。

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题目大意:
VasyaVasyaPetyaPetya玩一个游戏,每人每次写一个x[1,n]x∈[1,n]的正整数。当xx被写后,xxx的任意正整数幂都不能被写,写不了数字的人输。假设Vasya为先手,问当两边都是最佳操作时,谁能获胜。

分析:
我们可以把一些能用同样底数的幂次分组,即分成c,c2,c3....c,c2,c3....,为了让分开的集合相互独立,cc不能表示成其他数(除了c1)的幂形式。既然已经同底数了,所以可以理解为每次可以取一个数i[1,k]i∈[1,k],当选了ii时,ij不能选,kk为满足ck<=n的最大整数,问谁能赢的问题。

因为n1e9n≤1e9,所以230>1e9230>1e9 ,所以k30k<30 。对于每一个组,都相当于一个NIMNIM游戏,可以用sgsg函数求解,再把所有组的sgsg异或起来。我们可以打表打出大小为[1,30][1,30]的组的sgsg值。

打表代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>

using namespace std;

map <int,int> h;

int a[35],n,g;

int dfs(int x)
{
    if ((x==0) || (h[x])) return h[x];
    bool b[35];
    for (int i=0;i<=n;i++) b[i]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int sub=x;
        if ((x&(1<<(i-1)))!=0)
        {
            for (int j=i;j<=n;j+=i) sub&=g-(1<<(j-1));
            b[dfs(sub)]=1;
        }
    }
    int c=0;
    for (int i=0;i<=n;i++)
    {
        if (!b[i])
        {
            c=i;
            break;
        }
    }
    h[x]=c;
    return c;
}

int main()
{
    for (int i=1;i<=30;i++)
    {   
        n=i;
        g=(1<<n)-1;     
        for (int j=1;j<=i;j++) a[j]=1;
        printf("%d\n",dfs(g));
    }
}

因为大于nn的数的kk值都是1,所以我们可以暴力前nn个数的sgsg异或和。但是要排除掉那些可以写成其他数幂次(除c1c1)的数,然后统计一下[n+1,n][n+1,n]有多少个这样的数,那么这个范围内剩下的数的sgsg值都等于sg[1]sg[1]。因为是异或,只要判断剩下的数的奇偶性即可。

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL sg[31]={0,1,2,1,4,3,2,1,5,6,2,1,8,7,5,9,8,7,3,4,7,4,2,1,10,9,3,6,11,12,14};
const int maxn=1e5+7;

using namespace std;

LL n;
LL ans,v[maxn],t;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    LL p=trunc(sqrt(n));
    ans=sg[1];  
    for (LL i=2;i<=p;i++)
    {
        if (v[i]) continue;
        LL c=i,k=1;
        while (c*i<=n)
        {
            c*=i;
            if (c<=p) v[c]=1;
                else t++;
            k++;
        }       
        ans^=sg[k];
    }   
    if ((n-p-t)%2==1) ans^=sg[1];
    if (ans==0) printf("Petya");
           else printf("Vasya");
}
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