Codeforces Round #317 A.Lengthening Sticks_codeforces #317 a-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Doris1104/article/details/48196879

本文介绍了一种使用容斥原理解决特定计数问题的方法。该问题要求找到所有可能的整数组合(x, y, z)，使得a+x, b+y, c+z能构成三角形且x+y+z不超过给定值L。文章详细解释了如何计算所有可能的组合数量以及排除那些不满足三角形条件的组合。

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题目链接

题意：

给出a,b,c,L，要求 a+x, b+y, c+z 构成三角形，x + y + z <= L，问有多少中分法(x,y,z可为0)

思路：

用容斥来做，结果ans=全部组合的情况 - 不符合三角形定理的情况。

1.求全部组合的情况：
当L=0时，res=1；
当L=1时，res=3；所以当L=1时形成的情况为1+3=4
当L=2时，res=6；所以当L=2时形成的情况为4+6=10
当L=3时，res=10; 所以当L=3时形成的情况为10+10=20
……
所以由上面可以推出当L=n时，全部的组合情况是C(2,2) + C(3,2) + ......C(L+2,2)

2.不符合三角形定理的情况：
如果要形成一个三角形，那么必须任意两边之和大于第三边。那么不符合的就是任意一边大于等于其余两边的和。所以分别把a,b,c当成第三边，然后再考虑将剩下的l拆分三份分配给a,b,c依旧不满足的情况即可。
我们先把a当成第三边，然后给a增加一个La,现在i=a+La，Max=a+b+c+L。现在我们考虑b+c的范围，因为是不满足的情况，所以b+c的变化范围<=i，又因为总长度Max的限制，b+c<=Max-i,所以b+c的最大变化范围只能在min(i,Max-i)。令x=min(i,Max-i)-b-c表示总共变化量的大小，即 Lb+Lc <= x，所以此时方案数就是 [0,x]的总和。

参考博客：http://blog.youkuaiyun.com/u013486414/article/details/47950919

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
typedef long long ll;
ll a, b, c, l, maxn;

ll sol(ll x, ll y, ll z)
{
	ll tmp = 0;
	for(ll i = x; i <= x+l; i++) 
	{
		if((y + z) <= i)
		{
			ll cnt = min(i, maxn - i) - y - z;
			tmp += (cnt + 1) * (cnt + 2) / 2;
		}
	}
	return tmp;
}

int main()
{
	while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c, &l))
	{
		maxn = a + b + c + l;
		ll ans = 0;
		for(ll i = 2; i <= l+2; i++)
		{
			ans += (i * (i - 1)) / 2;
		}
		ans -= sol(a, b, c);
		ans -= sol(b, a, c);
		ans -= sol(c, a, b);
		printf("%I64d\n", ans);
	}
	return 0;
}