CodeForces 317D Game with Powers-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/X_rotator/article/details/70182937

本文解析了CodeForces317D题目，通过将游戏划分为多个子游戏并利用SG函数求解，实现了O(√N)的时间复杂度。介绍了如何通过统计不超过√N的数来简化问题。

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CodeForces 317D Game with Powers

题目描述：

有 $1$ 到 $N$ 共 $N$ 个数，两个人轮流操作，每次取一个数，并且不能取以前取过的数的任意正整数次幂，第一个无法操作的人输，问谁能赢。

题解：

假设 $x$ 不是任何其它数的正整数次幂，把 $x$ 和它的正整数次幂分成一类，显然一个数不可能同时属于两类，于是整个游戏就被分成了若干个互不干扰的子游戏，且每个子游戏的规模不超过 $log_2 N$ ，打表求出 SG 函数异或起来即可，但这样时间复杂度为 $O(N)$ 。

然而实际上，对于超过 $\sqrt{N}$ 的 $x$ ，子游戏的规模一定为 $1$ ，所以我们只需要统计小于等于 $\sqrt{N}$ 的 $x$ 即可，时间复杂度 $O(\sqrt{N})$ 。

题目链接： vjudge 原网站

代码：

#include <set>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000000007
#define MAXM 43

const int SG[] = {0, 1, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 6, 2, 1, 8, 7, 5, 9, 8, 7, 3, 4, 7, 4, 2, 1, 10, 9, 3, 6, 11, 12, 14};

static set<int> st;
static int N, K = 0;
static bitset<MAXN> vis;

int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 2; i * i <= N; i++)
        if (!vis[i])
        {
            int num = 0;
            for (long long j = i; j <= N; j *= i, num++) st.insert(j), vis[j] = 1;
            K ^= SG[num];
        }
    printf("%s\n", (K ^ ((N - st.size()) & 1)) ? "Vasya" : "Petya");
    return 0;
}

提交记录（AC / Total = 1 / 5）：

Run ID	Remote Run ID	Time(ms)	Memory(kb)	Result	Submit Time
8762933	26332213	60	124156	WA	2017-04-13 14:55:26
8763103	26332343	92	124152	WA	2017-04-13 15:06:24
8763245	26332437	92	124168	WA	2017-04-13 15:16:04
8763355	26332524	124	124352	RE	2017-04-13 15:24:27
8763400	26332547	124	126344	AC	2017-04-13 15:27:14