jzoj 4015. 【雅礼联考DAY01】数列 数论

本文详细解析了一种特定数列求值问题的算法实现,包括直接暴力枚举、利用循环特性以及通过数学变换降低时间复杂度的方法。适用于不同规模的数据输入。

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Description

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Input

一行,六个整数,分别表示 x0, a, b, c, n, m。

Output

一行,一个整数,表示 xn mod m 的值。

Sample Input

1 1 1 1 5 1000000000

Sample Output

133904603

Data Constraint

这里写图片描述

分析:
前35%数据,直接暴力枚举即可,复杂度O(n)O(n)

另外35%数据,我们发现对mm取模余数不同的数只有m个,一旦出现了一个相同的数就出现循环节,即可通过。注意循环节不一定从x0x0开始,前面的一些数可能没有循环,要先减去。复杂度O(m)O(m)

最后30%数据,有

xi=axi12+bxi1+cxi=axi−12+bxi−1+c

根据二次函数相关知识,化为顶点式,
xi=a(xi1+b2a)2+4acb24axi=a(xi−1+b2a)2+4ac−b24a

由题意得,4acb2=2b4ac−b2=−2b,得
xi=a(xi1+b2a)22b4axi=a(xi−1+b2a)2−2b4a

移项得,
xi+b2a=a(xi1+b2a)2xi+b2a=a(xi−1+b2a)2

假设数列TT,有Ti=xi+b2a,上式为,
Ti=aTi12Ti=aTi−12

两边同时乘aa,得
aTi=(aTi1)2

那么,
aTn=(aT0)2naTn=(aT0)2n

得,
xn=a2n1(x0+b2a)2nb2axn=a2n−1∗(x0+b2a)2n−b2a

因为mm是质数,可以对指数模m1
复杂度O(logn)O(logn)

其实考场上觉得mm这个条件很重要,对T想用原根了,其实也是可以做的,可以把乘法变为指数加法,设a=gca=gc,那么每次相当于把指数乘2再加c,矩阵加速递推就可以了,这样复杂度是O(sqrt(n)+logn)O(sqrt(n)+logn)。然后一开始没取模直接gg了。

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=1e7+7;

using namespace std;

LL x,a,b,c,n,p,k;
LL A[maxn],B[maxn];

LL ksm(LL x,LL y,LL p)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=ksm(x,y/2,p);
    c=(c*c)%p;
    if (y%2) c=(c*x)%p;
    return c;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&b,&c,&n,&p);
    LL t=b/(2*a);
    x%=p; a%=p; b%=p; c%=p;
    if (n<=1e7)
    {
        for (int i=1;i<=n;i++) x=(a*x%p*x%p+b*x%p+c)%p;
        printf("%lld",x);
    }
    else
    {
        if (p<=1e6)
        {
            A[0]=x;
            B[x]=0;
            for (int i=1;i<=n;i++)
            {
                x=(a*x%p*x%p+b*x%p+c)%p;
                if (B[x]!=0)
                {       
                    k=i-B[x];           
                    break;
                }
                A[i]=x;
                B[x]=i;
            }
            n=(n-B[x])%k+B[x];
            printf("%lld",A[n]);
        }
        else
        {
            LL d=ksm(2,n,p-1);
            LL s=((d-1)+(p-1))%(p-1);
            LL ans=(ksm(a,s,p)*ksm((x+t)%p,d,p)%p+p-t)%p;
            printf("%lld",ans);
        }
    }
}
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