【张朝阳的物理课笔记】 7. 气体的内能，能量均分原理，量子物理的曙光

7.1 双原子分子理想气体

证明：PV=NKT

双原子分子的质心速度：
${\vec{v}}_{CM}=\frac{m_1{\vec{v}}_1+m_2{\vec{v}}_2}{m_1+m2}$
平动动能：
$E_{tr}=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\vec{v}}_{CM}^2$
$⟨E_{tr}⟩=\frac{1}{2}(m_1+m_2)⟨{\vec{v}}_{CM}^2⟩=⟨\frac{1}{2}\frac{1}{m_1+m_2}[m_1^2{v}_1^2+m_2^2{v}_2^2+2m_1{m}_2({\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2)]⟩$
$\because {\vec{v}}_1和{\vec{v}}_2相互不相干，相对方向各个方向都有，所以总体加起来平均是0$
$\therefore ⟨E_{tr}⟩=\frac{1}{2}(m_1+m_2)⟨{\vec{v}}_{CM}^2⟩=⟨\frac{1}{m_1+m_2}[\frac{1}{2}{m}_1^2{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2^2{v}_2^2]⟩=⟨\frac{1}{m_1+m_2}[\frac{m_1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{m_2}{2}{m}_2{v}_2^2]⟩=⟨\frac{1}{m_1+m_2}[m_1\frac{3}{2}KT+m_2\frac{3}{2}KT]⟩=\frac{3}{2}KT$
还是满足能均分原理
内能U正比于NKT正比于PV,令
$PV=(\gamma -1)U$

7.2 $\gamma$是什么

考查对气体做功导致体积变化及内能的变化：

$\because U=\frac{1}{\gamma -1}PV$
$\therefore PdV=-dU=-\frac{1}{\gamma -1}d(PV)$
$\gamma PdV+VdP=0$
$\gamma =-\frac{VdP}{PdV}$
忽略负号，$\gamma =\frac{C_v}{C_p}$
$C_v$是定容热容，$C_p$是定压强热容。这两个都可以测出来
$\gamma$是热容比，又叫绝热指数
上面的式可以变换为：
$\frac{dP}{P}+\gamma \frac{dV}{V}=0$
$d(lnP)+d(ln{V}^{\gamma })=0$
$d(ln(P{V}^{\gamma }))=0$
$\therefore P{V}^{\gamma }$是常数
回顾下第5课用到了$\gamma$,空气取1.4:
$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{{\mu }_m}}$

单原子分子

$PV=NKT=N\frac{2}{3}(\frac{3}{2}KT)=\frac{2}{3}U=(\gamma -1)U$
$\therefore \gamma =\frac{5}{3}$
对于氦，测出确实是1.6

双原子分子

双原子分子的内能=$平动E_{tr}+转动E_{ro}+振动E_{vib}+原子间势能E_p$，自由度分别为：3，2，1，1. 按能均分原理，每个自由度的能量都是$\frac{1}{2}KT$,总能量是$\frac{7}{2}KT$
$\gamma =1+\frac{2}{7}=\frac{9}{7}=1.28\ne 1.4$与实验不符
如果原子间势能不要，
$\gamma =1+\frac{2}{6}=\frac{8}{6}=1.33\ne 1.4$与实验不符
如果振动能也不要，
$\gamma =1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}=1.4$与实验相符

7.3 量子力学解释为什么势能和振动能不参与能量分配

分子能是有能级的，能级差是普朗克常数*固有频率：$\hslash \omega$

分摊能量进入激发态的概率$Prob\propto e^{-\frac{\hslash \omega }{KT}}$
振动能和原子间势能分子间力很大，固有频率很大，所以能级差很大，这个概率很小，导致大部分分子处于基态，基本不会分摊能量。
转动能的能级非常小，所以会分摊能量。
对于碘气和溴气，分子较大，分子间力弱，固有频率较小，7个自由度都会分摊能量，所以$\gamma$值是1.28
对于氧气和氢气，固有频率很大，只有5个自由度分摊能量，所以$\gamma$值是1.4