本文通过一个实例详细解析了特征向量中心性的计算过程，包括如何求解邻接矩阵的特征值和特征向量，并得出图中最具中心性的节点。通过计算，最终得到特征向量并进行归一化，确定了节点v2为最中心节点。
特征向量中心性
“特征向量中心性” 试图通过结合无向图中的邻居结点的重要性来概括度中心性。
用邻接矩阵A记录邻居结点，则结点 v i v_i vi的特征向量中心性:
C e ( v i ) = 1 λ Σ j = 1 n A j , i C e ( v j ) C_e(v_i)=\frac 1 {\lambda}\Sigma_{j=1}^{n}A_{j,i}C_e(v_j) Ce(vi)=λ1Σj=1nAj,iCe(vj)
假设 C e = ( C e ( v 1 ) , C e ( v 2 ) , . . . , C e ( v n ) ) T C_e=(C_e(v_1),C_e(v_2),...,C_e(v_n))^T Ce=(Ce(v1),Ce(v2),...,Ce(vn))T是所有结点的中心向量，则
λ C e = A T C e \lambda C_e=A^TC_e λCe=ATCe
C e C_e Ce是邻接矩阵 A T A^T AT的特征向量， λ \lambda λ是特征值， λ \lambda λ有多个解，为了保证中心值大于0，取最大的 λ \lambda λ。
例 求下图的特征向量中心性：
解：
- 邻接矩阵为
A = [ 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 ] A = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0101010111010101110001000⎦⎥⎥⎥⎥⎤
-
求矩阵的特征值
求解 ( A − λ I ) C e = 0 (A-\lambda I)C_e=0 (A−λI)Ce=0,假设 C e = [ u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 ] C_e=[u_1 u_2 u_3 u_4 u_5] Ce=[u1u2u3u4u5],
[ − λ 1 0 1 0 1 − λ 1 1 1 0 1 − λ 1 0 1 1 1 − λ 0 0 1 0 0 − λ ] [ u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 ] = [ 0 0 0 0 0 ] \left[ \begin{matrix} -\lambda & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -\lambda & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -\lambda & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & -\lambda & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\lambda\\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\\ u_5\\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡−λ10101−λ11101−λ10111−λ00100−λ⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡u1u2u3u4u5⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡00000⎦⎥⎥⎥⎥⎤
d e t ( A − λ I ) = ∣ − λ 1 0 1 0 1 − λ 1 1 1 0 1 − λ 1 0 1 1 1 − λ 0 0 1 0 0 − λ ∣ = 0 det(A-\lambda I)=\left| \begin{matrix} -\lambda & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -\lambda & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -\lambda & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & -\lambda & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\lambda\\ \end{matrix} \right|=0 det(A−λI)=∣∣∣
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