【张朝阳的物理课笔记】9. 瑞丽金斯公式的推导(下)，普朗克修正，黑体辐射公式

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于 2022-07-19 23:53:49 首次发布

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本文深入探讨了瑞丽金斯公式及其在高频区遇到的问题，即紫外灾难。通过普朗克的能级量子化理论，介绍了修正后的黑体辐射公式，解释了如何解决紫外灾难，并详细阐述了普朗克黑体辐射公式的推导过程。

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9.1 瑞丽金斯公式，紫外灾难

空腔内充斥着各种频率的波，每个谐振子都受到所有波的作用。
谐振子在频率为 $ω\omega$ 的电场中受到的电场强度： $E=E0eiωtE=E_0e^{i\omega t}$
用第8课里的阻尼运动方程再加上电场：
$d2xdt2=−ω02x−γdxdt+qE0eiωtm\frac {d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x-\gamma\frac{dx}{dt}+\frac{qE_0e^{i\omega t}}m$
空腔内能量守恒，所以上式第二项辐射能量和第三项吸收能量是相等的。
猜测运动频率是 $ω\omega$ ，令 $x=x^0eiωtx=\hat x_0e^{i\omega t}$ ，代入方程得：
$x^0(ω02−ω2+iγω)=qE0m\hat x_0(\omega_0^2-\omega^2+i\gamma\omega)=\frac{qE_0}m$
$x^0=qE0m1ω02−ω2+iγω\hat x_0=\frac{qE_0}m\frac 1{\omega_0^2-\omega^2+i\gamma\omega}$
$x^0\hat x_0$ 是复数（形式是： $x0eiΔx_0 e^{i\Delta}$ ），电场是振动的，电荷位移被它拖着振动，所以会晚一个相位
$x^02=x^x^∗=q2E02m21(ω02−ω2)2+γ2ω2\hat x_0^2=\hat x\hat x^*=\frac{q^2E_0^2}{m^2}\frac 1{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}$

继续分析：
$ax=d2xdt2=x0ω2a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=x_0\omega^2$
$⟨ax2⟩=12x02ω2\langle a_x^2\rangle=\frac{1}2x_0^2\omega^2$
代入： $⟨P⟩=q26πϵ0c3⟨ax2⟩\langle P\rangle= \frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}\langle a_x^2\rangle$