【张朝阳的物理课笔记】 6. 温度的故事

6.1 理想气体

• 经验公式: PV=NKT
  P压强，V体积，N分子个数, K常数$1.38\ast 10^{-23}$,T温度
• 或 PV=$n_m$RT
  R常数8.31 $n_m$是摩尔数
• ps:
  1摩尔有6.01*$10^{23}$个分子或原子
  1摩尔C重12克，1摩尔$O_2$重32克
  1摩尔气体所占体积约22.4升

6.2 理想气体压强的微观解释

压强 P = 力/面积 = F/A
分子速度 $\vec{v}(v_x,v_y,v_z)$
x方向压力 = 动量变化/时间=$\frac{\Delta momentum}{\Delta t}$

令面积A为单位面积1，考虑x方向速度为$v_x$的粒子产生的压强：
$P_{v_x}$ = F/A=F=$\frac{\Delta momentum}{\Delta t}$=$\frac{N_{v_x}\ast m\ast 2v_x}{\Delta t}$
(这里的2是因为粒子撞击前后速度相反，所以速度变化为$2v_x$)
$N_{v_x}$为$\Delta t$时间内撞上边界的、速度为$v_x$的粒子数
$n_{v_x}$为速度为$v_x$的粒子的密度，则：
$P_{v_x}=\frac{1}{2}\ast \frac{n_{v_x}\ast v_x\ast \Delta t\ast m(2v_x)}{\Delta t}$
(这里的$\frac{1}{2}$是因为只有一半的粒子向左，另一半向右)
$P_{v_x}=n_{v_x}\ast m\ast v_x^2$
用$⟨⟩$表示平均值：

P = 所有不同$v_x$产生的压强之和 = $m⟨n_{v_x}{v}_x^2⟩$ = $m\frac{N}{V}⟨v_x^2⟩$
= $\frac{1}{3}m\frac{N}{V}⟨v^2⟩$ = $\frac{2}{3}\frac{N}{V}⟨\frac{1}{2}m{v}^2⟩$
PV = $\frac{2}{3}N⟨E_k⟩$
$⟨E_k⟩$为粒子平均动能，与温度T成正比， 测出这个比例为：$⟨E_k⟩$ = $\frac{3}{2}KT$
所以PV = NKT。能均分原理：x,y,z三个维度，每个维度的能量是$\frac{1}{2}KT$

6.3 高原气体密度减少

令面积A为1,n为密度

上下面压力差 dP = -重力= -n * mg * dh
$\therefore \frac{dP}{dh}=-nmg$
$\because PV=NKT$
$\therefore P=N/VKT=nKT$
代入第一式：
$\frac{dP}{dh}=\frac{dn}{dh}KT=-nmg$
$\frac{dn}{n}=-\frac{mg}{KT}dh$
两边积分：
$\ln n{|}_{n_0}^n=-\frac{mg}{KT}h{|}_0^h$
$\therefore n(h)=n_0{e}^{-\frac{mgh}{KT}}$
$n_0$是0高度时的密度

密度随高度衰减比例

以10摄氏度时氧气为例：
$m_{o_2}$为氧气摩尔质量
$e^{-\frac{mg\Delta h}{KT}}$=$e^{-\frac{m_{o_2}g\Delta h}{RT}}$
=$e^{-\frac{0.032\ast 9.8}{8.31\ast 283}\Delta h}$=$e^{-1.333\ast 10^{-4}\Delta h}$
$\Delta h$=100米，89.6%
$\Delta h$=1000米，87%
$\Delta h$=2000米，76%
在海拨2000米的地方，氧气减少了约25%，飞机上由于有加压措施，相当于海拨2000米。

6.4 麦克斯韦速度分布

$f(v)dv=(\sqrt{\frac{m}{2\pi KT}}{)}^{3}4\pi v^2{e}^{-\frac{m{v}^2}{2KT}}dv$

和正则分布有类似的形式：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
m越大则$\sigma$越小，也就是标准差越小，峰越陡

为什么空气中氢气很少？

• 氢气随高度衰减得慢，所以高空有很大比例氢气
• 速度分布宽，超过第二宇宙速度的氢分子比例大
  以上两点促成氢气逃离地球的比例比氧气多