黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙

题目来源苏格兰2015 中学等级考试数学题； A crocodile is stalking prey located 20 meters further upstream on the opposite bank of a river. Crocodiles travel at different speeds on land and in water. The time taken

探讨一个问题这两天网络流行如图的一个演示问题：有点像伽利略匹萨斜塔试验，打破了一些常识：走曲线的小球反而速度更快，奇怪也哉。这让很多文科生和一些数理不太好的理科生为之抓狂。粗略的数值模拟问题的分析用到的都是简单物理原理，只是计算繁琐一些，但是也没有最速下降曲线那么高端，只是引入了积分计算，还不至于引出变分法这样高级的东西。我对动图中的两条路径做了简化，一条平直线，一条直接取余弦曲线了。只是两个小球在

问题函数 y=22√sinxcosx+sinx+cosxy=2\sqrt{2}\sin x\cos x+\sin x+\cos x 的最大值是多少？(填空题)解答看到一本书上说下面的思路是错误的： y=2√sin2x+2√sin(x+π4)y=\sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)=22√sin⎛⎝⎜3x+π42⎞⎠⎟cos⎛

代数都没学会，几何更加一般。还好。

已知，如图，ABAB是圆 ⊙O\odot O 的直径，CECE 和 CFCF 是切线， DD 是 AEAE 和 BFBF 的交点。 证明 CDCD 垂直于 ABAB 仔细观察下： 解析的方法太繁琐。建立坐标系，求交点坐标，比较。利用Pascal定理的方法比较巧妙。圆锥曲线的内接六边形，三对对应边的交点共线。充要条件。作辅助线如图： 容易证明 DD 是 ΔABG\Delta ABG 的垂心（这个

来源2016 Joseph W. Andrushkiw Competition The Joseph W. Andrushkiw Competition is an annual mathematics problem-solving competition for New Jersey high school students(每年举行一次、面向新泽西高中生的数学解题竞赛) that is

来源2016 Joseph W. Andrushkiw Competition The Joseph W. Andrushkiw Competition is an annual mathematics problem-solving competition for New Jersey high school students(每年举行一次、面向新泽西高中生的数学解题竞赛) that is

来源2009年 中国科学技术大学 自主招生考试。 ∀x,y∈R,x2+xy+y2≥3(x+y−1)\forall x,y\in\mathbb{R}, x^2+xy+y^2\ge 3(x+y-1)解法自主招生考试已经不局限于以往的高中数学必修内容了。 ——不用考虑初等解法真好。这个问题等价于找二元函数：f(x,y)=x2+xy+y2−3(x+y−1)f(x,y)=x^2+xy+y^2-3(x+y-

问题来源2016年江苏省高中数学冬令营填空题。三个底面圆半径都是1的圆柱面，两两相切、两两垂直。求跟它们都相切的最小球面的半径。如果利用高等数学一些的观点，容易发现半径是 2√−1\sqrt{2}-1。——从没有太多约束的更宽的视野看看初等数学问题，可能更容易显出学习高等一些数学知识的意义或趣味。高等解法思路：找到三个圆柱面中轴线距离平方之和最小的点，这个点是要求的球面的球心；而且已经有线性算法。链

三维欧式空间点到直线的距离计算方法。使用叉积的表示方法直线用固定点OO对应的向量 o⃗ \vec o 和直行的方向单位向量 a⃗ 0\vec a_0 表示；任意点 QQ 对应的向量 q⃗ \vec q。 则利用向量叉积或外积的几何意义，外积的模等于两个向量为邻边的平行四边形的面积，从而可以得到三维空间点到直线的距离公式。所用到的叉积或外积，仅在三维空间有定义，所以，适用范围也仅限三维空间。因为点和直

问题来自网络的一道题。如图绿色部分，ΔAOB\Delta AOB 是等腰直角三角形，O:(0,0)O:(0,0)为坐标原点，A:(−4,0)A: (-4,0) 、B:(0,4)B: (0,4) 。 MM 是ABAB中点。 EE 在xx轴正半轴上，FF在线段 OBOB 上。∠EMF=45o\angle EMF=45^\rm{o}。 求使得：OF+EF=6OF+EF=6 的E:(x,0)E:(x,0)点

原题直角扇形ODE⌢\overset{\Huge{\frown}}{\small{ODE}}如图。AA在弧DE⌢\overset{\Large\frown}{DE} 上，CC 在线段 ODOD 上，BB 在线段 OEOE 上。ΔABC\Delta ABC 是直角三角形， ∠BAC=90o\angle BAC=90^\rm{o}， ACBC=23\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2}{3}。

回忆昨天动手和心算一个比值，发现居然错的离谱。首先，以为“初中水平”，太过于轻视了，不知道是奥数级别的初中水平。印象中的初中水平，连计算结果都不会超出简单有理数的范畴；其次，的确太习惯于用软件了；作图用软件，标准而容易理解，不用担心画的不标准或草稿纸不够、无须考虑字迹书法问题，完全可以忽略任意程度的计算难度统统秒杀；……久而久之，心算能力大大下降，好一点的中学生可能都比我强了。昨天的尴尬事还有很多。

原题描述正方形ABCDABCD的边长为11，点EE在边ABAB上，点FF在边BCBC上，AE＝BF＝37AE＝BF＝\dfrac{3}7。动点PP从EE出发沿直线EFEF运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点PP第一次碰到EE时，PP与正方形的边碰撞的次数为多少背景讨论原题是选择题，反射的最大次数数字有限，所以，从稳健解题的角度，一步一步用作图的方法是可以找到正确答案的。—

问题此题改编自一个被顾森博客称为史上最难的初等平面几何题的类似问题。等腰三角形，顶角20o20^{\rm o}；以如图的角度，分别从两个底边端点引射线和两个腰相交。两个交点的连线段和其中一射线的夹角命名为θ\color{red}\theta。 求它的角度。 提示定理tan3θ=tanθ⋅tan(60o+θ)tan(60o−θ)\tan3\theta=\tan\theta\cdot\tan\left

问题改编自网络。 正方形ABCDABCD 边长为 aa；以它的四个顶点为圆心，半径 aa 画如图四个90o90^{\rm o}的扇形，求证如图的扇形有重叠的阴影部分的面积为 (3√+2π3−3)a2\left(\sqrt{3}+\dfrac{2 \pi }{3}-3\right)a^2。解答通过辅助线做此题。果然是初中就能做到的。 蓝色为辅助线。 EE是扇形交点， FF是垂足、CDCD中点。ΔA

问题来源有时候，读书不用心，或者不求甚解，错误知识的细微末节累积起来就可能给日后的自己带来一系列无法理解的“悖论”或“佯谬”。即，从思路AA看一个问题，得到导出命题 ArA_r; 从本该或想当然等价于AA的思路A′A'看同一个问题，导出了命题 BrB_r，而且显然 Ar≠BrA_r\ne B_r，然后陷入纠结之中。——不过，发现或创造新的知识体系似乎也是这么来的。注意到有两个问题是值得关注的，可能是

我现在看到几何类的中学试题，优先考虑如果用“解析方法”无视几何背景、采用高等一些的数学方法暴力解题的可能性。比如下面这个问题，如果从带约束的非线性优化的角度看，就是求以四边形的面积为“目标函数”的最大化问题的最优点。决策变量定义为一个角的正弦值。这虽然是个单变量问题，因为目标函数复杂了点，还带有特殊的约束条件，求解起来还是相当繁琐的，不一定做得出来。如果利用第一个条件，加上三角形的正弦定理、勾股定理