三个两两垂直而且两两相切的圆柱面的最小公共切球面的半径

问题来源

2016年江苏省高中数学冬令营填空题。

三个底面圆半径都是1的圆柱面，两两相切、两两垂直。求跟它们都相切的最小球面的半径。

如果利用高等数学一些的观点，容易发现半径是 $\sqrt{2}-1$。——从没有太多约束的更宽的视野看看初等数学问题，可能更容易显出学习高等一些数学知识的意义或趣味。

高等解法

思路：

找到三个圆柱面中轴线距离平方之和最小的点，这个点是要求的球面的球心；而且已经有线性算法。链接虽然只提到了两条直线的情形，但是可以容易推广到任意$n$条时候。

然后就是求三维空间点到直线的距离的问题了。由于三个圆柱之间的关系，并无特殊性，所以，到每个圆柱中心线的距离相等。用这个距离$d$减去圆柱底面半径1即可。

简单求解

假设如图所示的三个简单圆柱面：

容易找出确定它们各自的中心线所需的固定点的向量$X_i$和表示其方向的单位向量$W_i$ $(i=1,2,3)$。

$X_i$为下面矩阵的各列：

$$\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \right]\tag{1}$$