三维空间里点到直线的距离

三维欧式空间点到直线的距离计算方法。

使用叉积的表示方法

直线用固定点$O$对应的向量 $\vec o$ 和直行的方向单位向量 $\vec a_0$ 表示；任意点 $Q$ 对应的向量 $\vec q$。 则利用向量叉积或外积的几何意义，外积的模等于两个向量为邻边的平行四边形的面积，从而可以得到三维空间点到直线的距离公式。

所用到的叉积或外积，仅在三维空间有定义，所以，适用范围也仅限三维空间。因为点和直线没有在上关系时恰好唯一确定一个平面，所以，图示可以仅用二维图表示。

http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html

叉积的定义方法，

最舒服的应该是：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,a_2\\ \,\,a_3&0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$$

其中一个关键的反对称矩阵的定义是这样的：

$$[\mathbf{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&0&\!-a_1\\\!-a_2&\,\,a_1&\,\,0\end{bmatrix}$$
这个表示方法在计算机视觉的针孔相机标定中有特殊重要的地位。

我感觉这个表示方法比常见的如下的计算行列式的办法舒服些：

$$\mathbf{u\times v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\ \end{vmatrix}$$

要想了解更多，请看维基百科；尽量英文版本，内容丰富准确。

不使用叉积的定义方法

不使用叉积也能轻松表达。当然不是直接代数结果的形式。我说的是使用矩阵。投影矩阵。这个办法实际上在另外一篇博客里面已经使用过。

其几何意义是：
（1）计算直线外的点$P$与直线上固定点$X$之间的差值向量；
（2）计算沿直线方向$W$的初等平行投影矩阵；
（3）把差值向量$PX$沿直线方向作投影得到新向量。新向量的模就是点$P$到直线$XW$的距离。

具体的公式此处就不再写了。