三维空间里点到直线的距离

本文介绍了三维欧式空间中计算点到直线距离的两种方法:使用叉积和不使用叉积。通过向量叉积的几何意义,可以得到距离公式。此外,还提到不使用叉积时,可以通过投影矩阵来求解点到直线的距离。
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三维欧式空间点到直线的距离计算方法。

使用叉积的表示方法

直线用固定点 O 对应的向量 o⃗  和直行的方向单位向量 a⃗ 0 表示;任意点 Q 对应的向量 q⃗ 。 则利用向量叉积或外积的几何意义,外积的模等于两个向量为邻边的平行四边形的面积,从而可以得到三维空间点到直线的距离公式。

所用到的叉积或外积,仅在三维空间有定义,所以,适用范围也仅限三维空间。因为点和直线没有在上关系时恰好唯一确定一个平面,所以,图示可以仅用二维图表示。

http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html

这里写图片描述

叉积的定义方法,

最舒服的应该是:

a×b=[a]×b=0a3a2a30a1a2a10b1b2b3

其中一个关键的反对称矩阵的定义是这样的:

[a]×=def0a3a2a30a1a2a10

这个表示方法在计算机视觉的针孔相机标定中有特殊重要的地位。

我感觉这个表示方法比常见的如下的计算行列式的办法舒服些:

u×v=iu1v1ju2v2ku3v3

要想了解更多,请看维基百科;尽量英文版本,内容丰富准确。

不使用叉积的定义方法

不使用叉积也能轻松表达。当然不是直接代数结果的形式。我说的是使用矩阵。投影矩阵。这个办法实际上在另外一篇博客里面已经使用过。

其几何意义是:
(1)计算直线外的点 P 与直线上固定点X之间的差值向量;
(2)计算沿直线方向 W 的初等平行投影矩阵;
(3)把差值向量PX沿直线方向作投影得到新向量。新向量的模就是点 P 到直线XW的距离。

具体的公式此处就不再写了。

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