初中平面几何

问题

改编自网络。
正方形$ABCD$ 边长为 $a$；以它的四个顶点为圆心，半径 $a$ 画如图四个$90^{\rm o}$的扇形，求证如图的扇形有重叠的阴影部分的面积为 $\left(\sqrt{3}+\dfrac{2 \pi }{3}-3\right)a^2$。

解答

通过辅助线做此题。果然是初中就能做到的。

蓝色为辅助线。 $E$是扇形交点， $F$是垂足、$CD$中点。

$\Delta ABE$是边长为$a$的等边三角形，从而 $E$ 到$AB$的距离可以容易求出，$EF$可以求出；从而可以得到梯形$AEFD$的面积，它减去 $30^{\rm o}$ 扇形的面积刚好是空白面积的 $\dfrac{1}8$。正方形面积减去全部的空白面积则得到阴影面积。

点评

这题好多年之前就有了。挺能考查分析能力和基础知识的。